19-20 第1章 1.3 1.3.1 二项式定理

1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理

学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)

教材整理 二项式定理

阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题． 二项式定理及相关的概念

二项式定理 概念 n1n－1n－22n－rr公式(a＋b)n＝C0b＋C2b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnanananbn(n∈N＋)称为二项式定理 二项式系数 各项系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 nrrnrrCrb是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Crb(其中nana－－0≤r≤n，r∈N，n∈N＋) n1n－1n－22n－rrn二项展开式 C0b＋C2b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnanananb(n∈N＋) 备注 在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋22rrnnC1nx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋Cnx(n∈N＋)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )

n－rr

(3)Crb是(a＋b)n展开式中的第r项．( ) na

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．

n－rrn(2)× 因为二项式的第r＋1项Crb和(b＋a)n的展开式的第r＋1项Crnanb

－r

ar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

1

n－rr

(3)× 因为Crb是(a＋b)n展开式中的第r＋1项． na

(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

二项式定理的正用、逆用

3?5?

【例1】 (1)用二项式定理展开?2x－2x2?；

??

0n－12n－r

(2)化简：Cn(x＋1)n－C1＋Cn(x＋1)n－2－…＋(－1)rCr＋…＋n(x＋1)n(x＋1)

(－1)nCnn.

【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．

3?53?3?5?0514?5??－2x2?＋…＋C5?－2x2? 【解】 (1)?2x－2x2?＝C5(2x)＋C5(2x)·

??????180135405243

＝32x－120x＋x－x4＋8x7－32x10.

5

2

0n－1n－2n－

(2)原式＝Cn(x＋1)n＋C1(－1)＋C2·(－1)2＋…＋Crn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)r

n(－1)r＋…＋Cn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.

1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．

2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．

3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．

1?4?

1．(1)求?3x＋?的展开式；

x??

12

(2)化简：1＋2Cn＋4Cn＋…＋2nCnn.

1?4?413【解】 (1)法一：?3x＋?＝C04(3x)＋C4(3x) x??

2

2341111??????2

??＋C3?＋C4? ·＋C24(3x)·4(3x)?4??x??x??x?x

121

＝81x2＋108x＋54＋x＋x2. 1?4?3x＋1?4?

法二：?3x＋?＝x2

x??1

＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 121

＝81x2＋108x＋54＋x＋x2.

1nnnn

(2)原式＝1＋2Cn＋22C2n＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3.

二项式系数与项的系数问题

1?6?

【例2】 (1)求二项式?2x－x?的展开式中第6项的二项式系数和第6项

??的系数；

9

?1?(2)求?x－x?的展开式中x3的系数．

??

【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．

【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1 ＝Cr6(2

x)

6－r

?1??－x? ·??

3－2r

r

＝(－1)rCr26－r·x36·

，

9

－2

∴T6＝－12·x.

∴第6项的二项式系数为C56＝6， 第6项的系数为C5(－1)·2＝－12. 6·(2)Tr＋1＝Cr9x

9－r

r

?1?

?－x?＝(－1)r··Crx9－2r， 9·??

3

∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C9＝－84.

3

1．二项式系数都是组合数Crn(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为

737－3Cr(2x)3，其二项式系数是C3n.例如，在(1＋2x)的展开式中，第四项是T4＝C7173＝35，而第四项的系数是C372＝280.

2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

5665566

【解】 T6＝C5n(2x)，T7＝Cn(2x)，依题意有Cn2＝Cn2，∴n＝8. 44∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)＝1 120x. rr－1r－1

，?Cr82≥C82

设第r＋1项系数最大，则有?rr r＋1r＋1

C2≥C2，?88

∴5≤r≤6.

∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8)． ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.

求展开式中的特定项

[探究问题]

4

?1?1．如何求?x＋x?展开式中的常数项？

??

4－r14－2r

【提示】 利用二项展开式的通项Cr·r＝Cr求解，令4－2r＝0，则4x4xx4

4×3?1?r＝2，所以?x＋x?展开式中的常数项为C2＝4

2＝6. ??

2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？

【提示】 (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．

4

?1?3．如何求?x＋x?(2x＋1)3展开式中含x的项？

??

11?1?3x＋??【提示】 (2x＋1)展开式中含x的项是由x＋x中的x与x分别与(2x?x?

21222

＋1)3展开式中常数项C3C33＝1及x项C32x＝12x分别相乘再把积相加得x·3＋

11?1?23·C3(2x)＝x＋12x＝13x.即?x＋?(2x＋1)展开式中含x的项为13x. x?x?

?33?n

x－?的展开式中，第6项为常数项． 【例3】 已知在??3?

x??(1)求n；

(2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．

【精彩点拨】 写出通项Tr＋1→令r＝5，x的指数为零 →?1?求出n值→修正通项公式→?2?求x2项的系数 →考查x指数为整数→分析求出k值 →?3?写出有理项 【解】 通项公式为：

n－rn－2rr－3

33rrr

Tr＋1＝Cnx(－3)x＝Cr. n(－3)x(1)∵第6项为常数项，

n－2r

∴r＝5时，有3＝0，即n＝10. (2)令

10－2r1

＝2，得r＝32(10－6)＝2，

2

∴所求的系数为C210(－3)＝405.

10－2r

??3∈Z，

(3)由题意得，?0≤r≤10，

??r∈Z.

令

10－2r

3＝k(k∈Z)，

3

则10－2r＝3k，即r＝5－2k.

5