1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
学习目标:1.会证明二项式定理.(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)
教材整理 二项式定理
阅读教材P26~P27例1以上部分,完成下列问题. 二项式定理及相关的概念
二项式定理 概念 n1n-1n-22n-rr公式(a+b)n=C0b+C2b+…+Crb+…+Cnna+Cnanananbn(n∈N+)称为二项式定理 二项式系数 各项系数Crn(r=0,1,2,…,n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 nrrnrrCrb是展开式中的第r+1项,可记做Tr+1=Crb(其中nana--0≤r≤n,r∈N,n∈N+) n1n-1n-22n-rrn二项展开式 C0b+C2b+…+Crb+…+Cnna+Cnanananb(n∈N+) 备注 在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式(1+x)n=1+22rrnnC1nx+Cnx+…+Cnx+…+Cnx(n∈N+)
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)(a+b)n展开式中共有n项.( )
(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.( )
n-rr
(3)Crb是(a+b)n展开式中的第r项.( ) na
(4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.( ) 【解析】 (1)× 因为(a+b)n展开式中共有n+1项.
n-rrn(2)× 因为二项式的第r+1项Crb和(b+a)n的展开式的第r+1项Crnanb
-r
ar是不同的,其中的a,b是不能随便交换的.
1
n-rr
(3)× 因为Crb是(a+b)n展开式中的第r+1项. na
(4)√ 因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
二项式定理的正用、逆用
3?5?
【例1】 (1)用二项式定理展开?2x-2x2?;
??
0n-12n-r
(2)化简:Cn(x+1)n-C1+Cn(x+1)n-2-…+(-1)rCr+…+n(x+1)n(x+1)
(-1)nCnn.
【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开;(2)可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.
3?53?3?5?0514?5??-2x2?+…+C5?-2x2? 【解】 (1)?2x-2x2?=C5(2x)+C5(2x)·
??????180135405243
=32x-120x+x-x4+8x7-32x10.
5
2
0n-1n-2n-
(2)原式=Cn(x+1)n+C1(-1)+C2·(-1)2+…+Crn(x+1)n(x+1)n(x+1)r
n(-1)r+…+Cn(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.
2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.
3.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点,项数,各项幂指数的规律以及各项的系数.
1?4?
1.(1)求?3x+?的展开式;
x??
12
(2)化简:1+2Cn+4Cn+…+2nCnn.
1?4?413【解】 (1)法一:?3x+?=C04(3x)+C4(3x) x??
2
2341111??????2
??+C3?+C4? ·+C24(3x)·4(3x)?4??x??x??x?x
121
=81x2+108x+54+x+x2. 1?4?3x+1?4?
法二:?3x+?=x2
x??1
=x2(81x4+108x3+54x2+12x+1) 121
=81x2+108x+54+x+x2.
1nnnn
(2)原式=1+2Cn+22C2n+…+2Cn=(1+2)=3.
二项式系数与项的系数问题
1?6?
【例2】 (1)求二项式?2x-x?的展开式中第6项的二项式系数和第6项
??的系数;
9
?1?(2)求?x-x?的展开式中x3的系数.
??
【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解.
【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr+1 =Cr6(2
x)
6-r
?1??-x? ·??
3-2r
r
=(-1)rCr26-r·x36·
,
9
-2
∴T6=-12·x.
∴第6项的二项式系数为C56=6, 第6项的系数为C5(-1)·2=-12. 6·(2)Tr+1=Cr9x
9-r
r
?1?
?-x?=(-1)r··Crx9-2r, 9·??
3
∴9-2r=3,∴r=3,即展开式中第四项含x3,其系数为(-1)3·C9=-84.
3
1.二项式系数都是组合数Crn(r=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.
2.第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为
737-3Cr(2x)3,其二项式系数是C3n.例如,在(1+2x)的展开式中,第四项是T4=C7173=35,而第四项的系数是C372=280.
2.(1+2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
5665566
【解】 T6=C5n(2x),T7=Cn(2x),依题意有Cn2=Cn2,∴n=8. 44∴(1+2x)n的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C48(2x)=1 120x. rr-1r-1
,?Cr82≥C82
设第r+1项系数最大,则有?rr r+1r+1
C2≥C2,?88
∴5≤r≤6.
∴r=5或r=6(∵r=0,1,2,…,8). ∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
求展开式中的特定项
[探究问题]
4
?1?1.如何求?x+x?展开式中的常数项?
??
4-r14-2r
【提示】 利用二项展开式的通项Cr·r=Cr求解,令4-2r=0,则4x4xx4
4×3?1?r=2,所以?x+x?展开式中的常数项为C2=4
2=6. ??
2.(a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的?
【提示】 (a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.
4
?1?3.如何求?x+x?(2x+1)3展开式中含x的项?
??
11?1?3x+??【提示】 (2x+1)展开式中含x的项是由x+x中的x与x分别与(2x?x?
21222
+1)3展开式中常数项C3C33=1及x项C32x=12x分别相乘再把积相加得x·3+
11?1?23·C3(2x)=x+12x=13x.即?x+?(2x+1)展开式中含x的项为13x. x?x?
?33?n
x-?的展开式中,第6项为常数项. 【例3】 已知在??3?
x??(1)求n;
(2)求含x2项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
【精彩点拨】 写出通项Tr+1→令r=5,x的指数为零 →?1?求出n值→修正通项公式→?2?求x2项的系数 →考查x指数为整数→分析求出k值 →?3?写出有理项 【解】 通项公式为:
n-rn-2rr-3
33rrr
Tr+1=Cnx(-3)x=Cr. n(-3)x(1)∵第6项为常数项,
n-2r
∴r=5时,有3=0,即n=10. (2)令
10-2r1
=2,得r=32(10-6)=2,
2
∴所求的系数为C210(-3)=405.
10-2r
??3∈Z,
(3)由题意得,?0≤r≤10,
??r∈Z.
令
10-2r
3=k(k∈Z),
3
则10-2r=3k,即r=5-2k.
5
19-20 第1章 1.3 1.3.1 二项式定理
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