天津市大港区2024届新高考数学考前模拟卷（2）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若点
位于由曲线
与
围成的封闭区域内（包括边界），则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】 【分析】 画出曲线
与
围成的封闭区域，
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜
率，然后结合图形求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线
与
围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B的坐标分别为∴
，
，
∴∴
或，
．
的取值范围为
故选D． 【点睛】
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正
确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 2．已知函数f(x)?asinx?3cosx的图像的一条对称轴为直线x?5?，且f(x1)?f(x2)??4，则6x1?x2的最小值为( )
A．?? 3B．0 C．
? 3D．
2? 3【答案】D 【解析】 【分析】
运用辅助角公式，化简函数f?x?的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数f?x?的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数f(x)?asinx?3cosx?a2?3sin(x??)(?为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为x?5?5?a3，且f()??， 6622即
a3???a2?3，解得a?1，所以f(x)?2sin(x?)， 223又由f(x1)?f(x2)??4，所以函数必须取得最大值和最小值，
5??,k1?Z，x2?2k2??,k2?Z， 662?,k?Z， 所以x1?x2?2k1??2k2??32?当k1?k2?0时，x1?x2的最小值，故选D.
所以可设x1?2k1??3【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
x2y23．已知双曲线?:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线?的左、右两支分
ab 别交于A,B两点，延长BF交右支于C点，若AF?FB,|CF|?3|FB|，则双曲线?的离心率是（ ）
A．17 3B．
3 2C．
5 3D．10 2【答案】D 【解析】
【分析】
设双曲线的左焦点为F'，连接BF'，AF'，CF'，设BF?x，则CF?3x，BF'?2a?x，
CF'?3x?2a，Rt?CBF'和Rt?FBF'中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为F'，连接BF'，AF'，CF'， 设BF?x，则CF?3x，BF'?2a?x，CF'?3x?2a，
AF?FB，根据对称性知四边形AFBF'为矩形，
Rt?CBF'中：CF'2?CB2?BF'2，即?3x?2a???4x???2a?x?，解得x?a； Rt?FBF'中：FF'?BF?BF'，即?2c?2222222c2510. ?a??3a?，故2?，故e?2a222故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．如图示，三棱锥P?ABC的底面ABC是等腰直角三角形，?ACB?90?，且PA?PB?AB?2，
PC?3，则PC与面PAB所成角的正弦值等于（ ）
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