x2?y2?1 …………5分 即椭圆C的方程为4?x2?4y2?4 （Ⅱ）??m2?4y2?4
?x?m4?m2(?2?m?2) ?y?24?m2(?2?m?2) 即圆D的半径为DA?DE?2 又OD?m,所以OE?4?m24?5m22 DE?OD??m?4422可得S?DEF4?5m25m22?OD?OE?m?=m(1?) 445m25m2?(1?)45m25m2444?5 ?(1?)?? ?5445255m25m2210?(1?),即m2??m???(?2,2)时取等号 当且仅当
5544综上, ?DEF面积的最大值为5 …………12分 520.（本小题满分12分） 2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有n份（n?N?）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测n次；（2）混合检测，将其中k（k?N,k?2）份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸样本全部为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k份核酸样本中，哪些是阳性，就要对这k份核酸样本逐份检测，此时这k份核酸样本检测总次数为k?1次.假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的,且每份是阳性的概率为p(0?p?1).
（Ⅰ）假设有5份核酸样本,其中只有2份为阳性,若采用逐份检测方式检测,求恰好经过3次阳性样本全部被检测出的概率;
（Ⅱ）现取其中k（k?N,k?2）份核酸样本检测,记采用逐份检测的方式,样本需要检测的总次数为X,采用混合检测方式,样本需要检测的总次数为Y.
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?? (ⅰ)求Y的分布列和期望; (ⅱ)若E(X)?E(Y),求
p关于k的函数关系式p?f(k)
解: （Ⅰ）分三类:“阴阳阳”, “阳阴阳”“阴阴阴” 所求概率为???3215432313213?????? …………6分 54354310 （Ⅱ）(ⅰ) Y?1,k?1 Y的分布列为 E(Y)?(1?p)?(k?1)[1?(1?p)] ?k?1?k(1?p)
(ⅱ) 由E(X)?k,及E(X)?E(Y)得 k?k?1?k(1?p)
kkkk11? 整理得p?f(k)?1?()k (k?N,k?2) …………12分
k21.（本小题满分12分）
设函数f(x)?1?axcosx(a?0)在[0,（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求f(x)在(0,?4]上最小值为1?2?. 4?2)上零点的个数.
解: （Ⅰ）法1:f?(x)??a(cosx?xsinx),x?[0, 当x?[0,?4]
?4]时, cosx?sinx?0,1?x?0,知cosx?xsinx?0
∵a?0, ∴f?(x)?0,x?[0,知f(x)在[0,?4]
?4]上是减函数,从而
f(x)min?f()?1?a???44?22??1?,解得a?2; 24 综上 a?2 …………6分
法2: f?(x)??a(cosx?xsinx),x?[0,?4]
令g(x)?f?(x)??a(cosx?xsinx),x?[0,则g?(x)?a(2sinx?xcosx)?0,x?[0,?4],
?4]
知g(x)在[0,??2?a(1?)?0, ]上是增函数,注意到g(0)??a?0,g()??4244咸阳市2021年高考数学（理科）模拟检测（二）- 7 -（共10页）
知f(x)在[0,?4]上是减函数,从而
f(x)min?f()?1?a???44?22??1?,解得a?2; 24 综上 a?2 …………6分 （Ⅱ）f(x)?1?2xcosx, x?(0,?2)
f?(x)??2(cosx?xsinx),x?(0,?2)
令g(x)?f?(x)??2(cosx?xsinx),x?(0,?2),
则g?(x)??2(?2sinx?xcosx)?0,知g(x)在(0,?2)上是增函数,
注意到g(0)?f?(0)??2?0,g()?f?()???0,知存在x0?(0,???222),使得
g(x0)?f?(x0)?0,
当x?(0,x0)时, g(x)?f(x)??0;当x?(x0, 即f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0, 又f(0)?1?0,f()?1??2)时, g(x)?f(x)??0;
?2)上单调递增
?42???0,f()?1?0 42 所以, f(x)在(0, 即f(x)在(0,?)和(,)上各有一个零点. 424???2)上零点的个数为2. …………12分
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.
作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
??x?3?3cos?C 在平面直角坐标系中,曲线1的参数方程为:?(?为参数),以坐标原点O为
3sin???y?极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:??2sin?. （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
（Ⅱ）设直线l:y?kx(k?0)与曲线C1交于O,A两点,与曲线C2交于O,B两点,求
OA?OB的最大值.
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解: （Ⅰ）曲线C1:???x?3?3cos???y?23sin?2(?为参数)
消去参数?得(x?3)?y?3,即x?y?23x 化为极坐标方程为 ??23cos?
曲线C2:??2sin?化为直角坐标方程为x?y?2y,
即x?(y?1)?1 …………5分 （Ⅰ）设直线l的极坐标方程为???(0???222222?2,??R)
??????????23cos????23cos?,即OA?23cos?
????????2sin?,即OB?2sin?
???2sin? ∴OA?OB?23cos??2sin??4sin(?? 当???3)?4
?6时, (OA?OB)max?4 …………10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲∴ 已知函数f(x)?2x?1?x? （Ⅰ）求实数m的值;
（Ⅱ）设a,b,c?0,且a?b?c?m,求证: a2?4b2?4c2?6.
5的最小值为m. 231?3x?,x?5??22解: （Ⅰ）f(x)?2x?1?x???
712??x?,x???22 知f(x)min?f()?3,即m?3 …………5分 （Ⅱ）证法1:由（Ⅰ）知a?b?c?3(a,b,c?0) 由柯西不等式得
(a?4b?4c)[1?()?()]?(a?1?2b? 整理得a2?4b2?4c2?6
22221212212211?2c?)2?(a?b?c)2?32?9 22咸阳市2021年高考数学（理科）模拟检测（二）- 9 -（共10页）
a2b2c1??11,即a?2,b?c?时取等号 当且仅当1222 综上 a2?4b2?4c2?6 …………10分
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2021年咸阳二模（理科）数学试题参考答案 - 图文
