咸阳市2021年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题参考答案
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A?x(x?2)(x?2)?0?,B?{?3,?2,?1,0,1,2},则A?B? （ ）
A. {?1,0,1} B. {?3,1} C.{?2,0,2} D.{1,2} 解: A?x(x?2)(x?2)?0??x?2?x?2?，所以A2.已知复数z???B?{?1,0,1}，选A.
1?i,则z2021? （ ） 1?iA. i B. ?i C.?1 D.1
1?i(1?i)2???i?z2021?(?i)2021??i2021??i，选B. 解：z?1?i(1?i)(1?i)3.已知向量m?(x,2),n?(x?1,3),m//n，则x的值为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解：依题意得3x?2x?2，解得x?2 选C. 4.某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师 15人，女教师20人，进行调查，这种抽样方法是 （ ） A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 答：分层抽样法 选D.
5.中国人民银行发行了2020吉祥文化金银纪念币，如图所示是一 枚5克圆形金质纪念币背面图案为松、鹤、灵芝、云纹等组合图案，并刊“松鹤延年”字样及面额，直径为18mm，小王同学为了测算图 中装饰鹤的面积，他用1枚针向纪念币投掷500次，其中针尖恰有 150次落在装饰鹤的身上，据此可估计装饰鹤的面积是 ( ) A.
486?243?mm2 B. mm2 55243?243? C. mm2 D. mm2
1020243?2150?解: 估计装饰鹤的面积是??9?mm2 选C.
500100.20.16.已知a?0.2,b?2,c?ln0.5,则a,b,c的大小关系为 ( )
A. a?b?c B. a?c?b C.c?a?b D. b?a?c 解：a?0.20.2?(0,1),b?20.1?1,c?ln0.5?0，知b?a?c，选D.
7.如图为某函数图象，则该函数解析式可能是 （ ） A. y?2?x?2 B. y?2?x?2
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x2x22x?1cosx C.y?(x?1)sinx D. y?x2?12解：由图象可知，该函数为偶函数，排除B，
由f(0)?0排除D，由该函数只有两个零点排除C，选A.
x2y28.抛物线C1:y?2px(p?0)的焦点F与双曲线C2:2?2?1(a,b?0)的右焦点相同，抛物线
ab2C1与双曲线C2的两条渐近线交于A,B两点，且直线AB恰好过点F，则双曲线C2的离心率为（ ）
A.2 B.
3 C.
5 D. 5 2bc?2c?b?2a，易得双曲线C2a 解：易知，线段AB是抛物线C1的通径，AB?2OF，即
的离心率为5. 选D.
9.我国的十二生肖纪年法是特有的纪年方法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以十二年为一循环的纪年法，十二地支顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥.兽名顺序为：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.子属鼠、丑属牛、寅属虎、卯属兔、辰属龙、巳属蛇、午属马、未属羊、申属猴、酉属鸡、戊属狗、亥属猪，是为十二属相，又称十二生肖.将十二生肖和年号结合起来，就可以查出准确的年份，已知2021年是牛年，从今年算起，第8个猪年是 （ ） A.2114年 B.2115年 C.2116年 D.2117年 解: 易知2019年是猪年,2019?8?12?2115,即第8个猪年是2115年.选B. 10. 设函数f(x)?e?e,则
x?xf(x) ( )
A. 是奇函数，且在(??,??)单调递增; B. 是奇函数，且在(??,??)单调递减; C.是偶函数，且在(??,??)单调递增; D.是偶函数，且在(??,??)单调递减 解: f(x)?e?e定义域为(??,??),由
x?xf(?x)??f(x)知f(x)是奇函数,由y?ex和
y??e?x??1x?xf(x)?e?e(??,??)均为上的增函数知在(??,??)单调递增 xe选A
11.四面体ABCD中,?ABD和?CBD均为正三角形，且它们所在平面互相垂直,已知AB?2，则四面体ABCD外接球的表面积为 （ ） A. 12? B. 解：略，选C.
12.已知函数f(x)?cos2x?2sinx?a，函数g(x)?log1x，若任意x1???216?20? C. D.16? 33???,??，都有 6??咸阳市2021年高考数学（理科）模拟检测（二）- 2 -（共10页）
?1?x2??,4?，使得f(x1)?g(x2)成立，则实数a的取值范围为 （ ）
?2?1115,1] C. [,] D. [0,] 2222123?13解: f(x)??2(sinx?)?a?,x?[?,?],知f(x)?[a?,a?]
22622A.[?,?] B. [? g(x)?log1x,x?[,4],知g(x)?[?2,1],
2321214 依题意yy?f(x)?yy?g(x),即[a?????13,a?]?[?2,1], 22 解得a?[?,?]. 选A 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算定积分:解：
3212?e11dx?_____. x?e11edx?lnx1?lne?ln1?1 答案：1 x14.已知集合M?{5},N?{2,4},Q?{1,2,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系
O?xyz中向量a的横坐标x、纵坐标y和竖坐标z，则可确定不同向量a的个数为 . 解：根据乘法原理，共有1?2?3?6个，答案：6
15. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直棱柱称为“垫堵”. 一块“垫堵”型石材的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加 工成若干个相同的球,并使每个球的体积最大,则这些球的体积之 和为_________. 解:球的半径最大值为r?8?6?10?2,该三棱柱最多可以加工 2这样3个球,它们的体积之和为
3???23?32? 答案:32? 16.写出一个对称轴是直线x?431的奇函数??(??)= . 2解：f(x)?sin(?x)或f(x)?0等，答案不唯一.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17.（本小题满分12分）
已知数列?an?的前n项和为Sn?2?1.
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（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?nan，
求数列{bn}的前n项和Tn.
解: （Ⅰ）当n?1时,a1?S1?1; 当n?2时,an?Sn?Sn?1?2 综上 an?2n?1n?1,
…………6分
n?1（Ⅱ）由bn?nan?n?201得
2n?2 Tn?1?2?2?2?3?2?????(n?1)?2123?n?2n?1 ?n?2n
2Tn?1?2?2?2?3?2?????(n?1)?2 ∴?Tn?1?2?2?????22n?1n?1?n?2n
1?2n?n?2n ?1?2 ?(1?n)2?1
即Tn?(n?1)2?1 …………12分 18.（本小题满分12分）
nnAB 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90,AB?AC?2,AA1?23,D在线段1上,且A1D:DB?3:1.
（Ⅰ）求证:A1B?平面ACD; （Ⅱ）求二面角B?AC?D的大小.
（Ⅰ）证明:在Rt?A1AB中,由AA1?23,AB?2,得 A1B?4
又A1D:DB?3:1, ∴A1D?3,DB?1 易证?A1AD?A1BA ∴?A1DA??A1AB?90
即A1B?AD
又面ABC?面ABB1A1,AC?AB ∴ AC?面ABB1A1,而A1B?面ABB1A1
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∴A1B?AC
由A1B?AD,A1B?AC,ADAC?A
知A1B?平面ACD …………6分 （Ⅱ）解法1:取A为原点,直线AC,AB,AA1分别 为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系
显然平面ABC的一个法向量为n1?(0,0,1) AD?(0,,33),AC?(2,0,0) 22 设平面DAC的法向量为n2?(x,y,z),则n2?AD?n2?AC?0得
?33?(x,y,z)?(0,,)?0??3y?z?0?? ?,取n2?(0,1,?3) 22x?0???(x,y,z)?(2,0,0)?0? ∴cos?n1,n2??n1?n2n1?n2?(0,0,1)?(0,1,?3)3??
1?22 知二面角B?AC?D的大小为30 …………12分 解法2:如图,过D作DE?AB于E 易证DE?面ABC,而AC?AB,所以
AC?AD(三垂线定理),即?DAB是二面角B?AC?D的平面角
依题意得?DAB??BA1A?30
知二面角B?AC?D的大小为30 …………12分 19.（本小题满分12分）
3x2y2C:??1(a?b?0)已知椭圆的离心率为，且过点P(0,1). 222ab （Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设直线l:x?m与椭圆C交于两点A,B,以AB为直径的圆D与y轴交于两点E,F,求
?DEF面积的最大值.
??a2?b2?c2?a?2??? 解: （Ⅰ）依题意得?b?1??b?1
??c3?c?3???2?a咸阳市2021年高考数学（理科）模拟检测（二）- 5 -（共10页）
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