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2014 年全国高中数学联赛
(B 卷)
一
试
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分，） 1.
函数 f (x)
x 5 24 3x 的值域是 .
2.
已知函数 y
(a cos2 x 3) sin x 的最小值为 3 ，则实数 a 的取值范围是 . y 2 1 的右半支与直线 x
个
3. 数是.
双曲线
x2
100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的
4.
已知 { an } 是公差不为 0 的等差数列， { bn } 是等比数列，其中 a1
3,b1
.
1, a2 b2 ,3a5
b3 ，且存在常
数 ,
使得对每一个正整数 n 都有 an log bn
，则
5. 是.
6. 胜概率是
函数 f (x)
a 2x
3a x 2(a
0, a 1) 在区间 x [
1,1]上 的最大值为
8，则它在这个区间上的最小值
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于
.
的
6 者为胜，否则轮由另一人投掷 . 先投掷人的获
7.
正三棱柱 .
ABC
A1B1C1
9 条棱长都相等， P 是
CC1的中点，二面角 B
A1 P B1
, 则
sin
8.
方程 x y z
2010 满足 x y
z 的正整数解（ x, y, z）的个数是 .
二、解答题（本题满分 56 分） 9. （16 分）已知函数 f ( x)
ax3 bx 2 6x 上的两个动点cx d ( a 0)，当0
，其中x 1时， f (x)
x1
1，试求 a 的最大值 .
x2
10.（20 分）已知抛物线 y
的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求
2
A( x1 , y1)和 B(x2 , y2 )
x2 x1
且4.
线段
AB
ABC 面积的最大值 .
11. （ 20 分） 证明：方程
2x
.
3
5x 2 0 恰有一个实数根
r ，且存在唯一的严格递增正整数数列
{ an} ，使得
2 5
ra ra ra
1
2
3
解 答
1.
[ 3, 3] 提示：易知 f (x) 的定义域是
5,8 ，且 f ( x) 在 5,8
上是增函数，从而可知
f ( x) 的值域为
[ 3, 3] .
.
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2.
3 2
a 12
提示：令 sin x
t ，则原函数化为 g(t)
(
at 2
a
3)t ，即
g(t)
at 3
(a 3)t .
由
at 3
(a 3)t 0
即
3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， (t
1)( at (t 1) 3)
0 及 t 1 0 知
at (t
当 t
1) 3
a(t 2 t)
3 .
（1）
0, 1时（ 1）总成立； t 1,0 t 2 t
对 0
3.
2；对 1
t
0, 1 t 2 t 4
0 . 从而可知
3
2
a
12 .
9800 提示：由对称性知，只要先考虑
x 轴上方的情况，设 y k (k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线
x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为
99
(99 k ) 99 49 4851 .
k 1
又 x 轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为
2 4851 98
，则
9800
.
4.
3
3
3 提示 ：设 { an }
的公差为 d,{bn }
的公比为 q
3 d q,
（1 ）
3(3 4d) 9 ，求得 d
q ，
2（2）
（ 1）代入（ 2）得 9
12d d 2
1
6d 6, q 9 .
从而有 3
6( n 1) log 9n
对一切正整数 n 都成立，即 6n
3
(n 1) log
9
对一切正整数
n 都成立 .
从而
log 9 6, 3 3 3.
g( y)
log 9
，
求得
3
3, 3 ，
3
在
5.
1 4
提示：令
a
x
y,
则原函数化为
y2
3y
2 , g( y)
(
3 ,+ ) 上是递增的 .
2
当 0 a
1时， y [a,a 1 ] ,
g( y) max a 2 3a 1 2 8
a 1
2 a
1 2
，
.
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所以
当
g( y) min
(1)2
2
3 1 2
2
1 ； 4
a 1 时， y [ a 1 , a] ，
所以
g ( y) max a
2
3a 2
8
a 2
，
g( y) min
1
.
2 2
3 2 1
2
1 . 4
综上 f (x) 在 x
6.
[ 1,1] 上的最小值为
12 17
4
提示：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
21 7 36 12
7 12
，从而先投掷人的获胜概率为
7 12
(5)2 7
12
(5)4
12
12
7 12
1 1 25
144
12 . 17
7.
10 4
提示：解法一：如图，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 中点 O 为原点， OC 所在直线为 y 轴，建立空间
直角坐标系 . 设正三棱柱的棱长为 2，则 B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 ( 1,0,2), P(0, 3,1) ，从而，
BA1 ( 2,0,2), BP ( 1, 3,1), B1 A1 ( 2,0,0), B1 P ( 1,
， 所 以
3, 1) .
设分别与平面 BA1P 、平面 B1A1P 垂直的向量是
、，则
z
A1
C 1
m (x1 , y1 , z1 ) n ( x2 , y2 , z2 )
m BA1 m BP
2x1 2z1 0, x1
3y1 z1 0,
B 1
P
A
O
n B1 A1 n B1 P
由此可设
2x2 x2
0, 3y2
z2
0,
m (1,0,1), n (0,1, 3)
C
y
B
ur r m n
ur
m
r n cos ，即
x
A1
3
2 2 cos
cos
6
.
C 1
4
E
所以 sin
10 4
.
B 1
O
A
P
.
C
B
2014年全国高中数学联赛试题及答案
