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第二类重要极限的简易算法
作者：孙明岩
来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期
摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。 关键词：第二类重要极限；系数；指数
中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02 一、第二类重要极限及其常规算法
第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。 例1 求■（1+■）x
解 令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。 例2 求■（1+2x）■
解 令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2 第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算： 例3 求■（1-■）2x+1
解 ■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■
二、第二类极限简易算法
定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。
证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。 定理2：■（1+■）■=e■
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证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。 根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：
推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中 的指数为x与■的系数乘积。
证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
推论2：第二类重要极限■（1+■）■极限值中e的指数为x与■的系数乘积。
证明：■的系数为■，x的系数为■，根据定理2， ■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
根据推论1和推论2很容易就可以解决很多第二类极限问题。
如前文例1所示：■（1+■）x，x与■乘积为2，可以计算出结果为e2。 例2 求■（1+2x）■，x与■乘积为2，可以计算出结果为e2。 例3 ■（1-■）2x+1，x与■乘积为-■，可以计算出结果为e■。 三、第二类重要极限简易算法的应用 （一）计算连续复利的復利公式
Sn=■p（1+■）nt=p■（1+■）nt，（参见[2]）t与■的系数乘积为rn，结果为ern。计算起来非常方便。
（二）在微分证明中的应用
（lnx）'=■■=■ln（■）■=ln■（1+■）■，■（1+■）■中△x与■系数乘积为■，结果为lne■=■。 参考文献：
[1]彭英.浅谈两个重要极限的应用[J].山西科技，2008. [2]孙明岩.微积分[M].东北大学出版社，2011.
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