立体几何中的向量方法
1．空间向量与空间角的关系
(1)两条异面直线所成角的求法(a，b分别为l1，l2的方向向量)
范围 求法 (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝
|e·n|． |e||n|a与b的夹角β (0，π) a·bcos β＝|a||b| l1与l2所成的角θ ?0，π? 2??|a·b|cos θ＝|cos β|＝|a||b|
(3)二面角的求法
→→
a．如图①，AB，CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
b．如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 2．点到平面的距离的求法
→
|AB·n|
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.
|n|
1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )
ππ
(4)两异面直线夹角的范围是?0，?，直线与平面所成角的范围是?0，?，二面角的范围是[0，π]．( )
2?2???答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A.?
333?
，，－
33??3
333?
，，
333?
B.?
333?
，－，
33??3
C.?－
?
D.?－
?
333?
，－，－
333?
→→
解析：选D.因为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)． 经验证，当n＝?－
?
3333333?→→
时，n·AB＝－＋0＝0，n·AC＝＋0－＝0. ，－，－3333333?
所以?－
?
333?
是平面ABC的一个单位法向量． ，－，－
333?
正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为( ) π
A. 6πC. 4解析：选A.
以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，22)．点C1在侧面33
ABB1A1内的射影为点C2?，，22?.
?22?
13→→
所以AC1＝(－2，0，22)，AC2＝?－，，22?，
?22?
→→
AC1·AC21＋0＋83
设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.
2→→
|AC1||AC2|23×3ππ
又θ∈?0，?，所以θ＝.
62??
已知正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．
2
π
B. 3πD. 12
→→→
解析：以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则1＋0－1→→→→
CD1＝(－1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1)，cos〈CD1，B1D〉＝＝0，所以两直线所成的角为90°.
2×3答案：90°
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，则二面角C-PB-D的大小为________．
解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设PD＝DC＝1，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)． 所以DP→＝(0，0，1)，PC→
＝(0，1，－1)， DB→＝(1，1，0)，BC→
＝(－1，0，0)，
设平面PBD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 由n1·DP→＝0，n1·DB→
＝0得
???z1＝0，? ?x1＋y1
＝0，令x1＝1，得n1＝(1，－1，0)．
设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由n??y22·PC→＝0，n2·BC→
＝0得?－z2＝0，?
?
－x2＝0，令y2＝1得n2＝(0，1，1)． 设二面角C-PB-D的大小为θ，则 cos θ＝|n1·n2||n1||n2|＝1
2，
所以θ＝60°. 答案：60°
考点一：异面直线所成的角
[典例引领]
3
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2. (1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
→→→
【解】 如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)． →→
(1)证明：DE＝(0，2，0)，DB＝(2，0，－2)．
→??n·DE＝0，??2y＝0，
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则?即?
?→2x－2z＝0.??n·DB＝0，?不妨设z＝1，可得n＝(1，0，1)． →→
又MN＝(1，2，－1)，可得MN·n＝0. 因为MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE. (2)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)， →→
进而可得NH＝(－1，－2，h)，BE＝(－2，2，2)． →→|NH·BE|→→
由已知，得|cos〈NH，BE〉|＝
→→|NH||BE|＝
7＝， 221h＋5×23|2h－2|
7
，求线段AH的长． 21
8181
整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝或h＝.所以，线段AH的长为或.
5252
4
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． [提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
[通关练习]
1．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( ) A.
10
10
B.30 10
215C.
10310D.
10
解析：选B.建立空间直角坐标系如图．则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，→→
2，2)，BC1＝(－1，0，2)，AE＝(－1，2，1)， →→BC1·AE30→→
cos〈BC1，AE〉＝＝.
10→→
|BC1||AE|所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为
30. 10
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
5
立体几何中的向量方法 教师 1
