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第六章 几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．
6.1 半群
定义 6.1 称代数结构
定理6.1 设
（1）
（2）若独异点
证明简单，不赘述．
定理6.2 设
（1）同态象
（2）当
（1）
为证（2）定义函数h:S→SS：对任意a?S h（a）= fa fa：S→S 定义如下: 对任意x?S， fa（x）= a?x
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现证h为一同态．对任何元素a,b?S．
h(a?b)＝fa?b （l1－1）
而对任何x?S，
fa?b（x）= a?b?x = fa（fb（x））= fa○fb （x） 故fa?b = fa○fb ,由此及式（l1－1）即得
h（a?b）= fa?b = fa○fb ＝h（a）○ h（b）
本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里
6.2 群
群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.
6.2.1 群及其基本性质
定义6.6 称代数结构
（3）
或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群．
定义 6.7 设
（1）若 ? 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为
（2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的
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阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）． 例6.6
（1）
（2）不是群，因为数0无逆元．
（3）
（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○ 为函数合成运算.那麽 < P, ○ >为一群．A上恒等函数E A为其么元。< P, ○ >一般不是阿贝尔群. 群的下列基本性质是明显的. 定理1l.9 设
（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元． （2）关于x的方程a?x＝b，x?a＝b都有唯一解．
（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,y?S
a*x = a*y 蕴涵 x = y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y
（4）当G ? {e}时, G无零元．
（5）么元e是G的唯一的等幂元素. 证（1）,（2）,（3）是十分明显的．
（4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G = {e}时,e既是么元，又是零元.）
（5）设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x*e 所以 x*x = x*e 由（3）得x = e 。
由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．从而有限群
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定理6.10对群
（2）(a*b) -1＝b-1*a-1
（3）(ar) -1 = (a–1)r（记为a–r）（r为整数）． 证（2）(a?b) ?(b-1?a-1) = a?(b ?b-1)?a-1 = e (b-1?a-1)?(a?b) = b-1?(a-1?a)?b = e
因此a?b的逆元为b-1?a-1，即(a?b) -1＝b-1?a-1． （3）对r归纳.
r = 1时命题显然真.设(ar) -1 = (a–1)r,即(a–1)r 是ar的逆元.那么 ar+1?(a–1)r+1 = ar?(a?a-1)?(a–1)r＝ar?(a–1)r = e (a–1)r+1? ar+1 = (a–1)r?(a-1?a)? ar＝(a–1)r? ar = e
故ar+1 的逆元为(a–1)r+1，即(ar+1) -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.
对群
定理6.11 对群
如果我们用aG和Ga分别表示下列集合
aG = {a?g ? g?G}， Ga = {g?a ? g?G}
那么我们有以下定理．
定理 6.12 设
特别地，当G为有限群时，? 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．
证 aG ? G是显然的．
设 g?G，那么a–1?g?G，从而a?(a–1?g) ?aG，即 g?aG．因此 G?Ga． aG = G得证．Ga = G同理可证．
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这一事实的一个明显推论是：当G为有限群时，? 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列.从而有限群
表6.2 ? E e e ? e a e e a a a e ? e a b e e a b a a b e b b e a 对群还可以引入元素的阶的概念. 定义6.8 设
例6.7
(1) 任何群G的幺元e的阶为1, 且只有幺元e的阶为1。 (2)
(3)
定理6.13 有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数 ? G ? .
证 设a为G的任一元素,考虑 e = a0 ,a1 ,a2 , … ,a│G│
这 ? G ?+1个G中元素.由于G中只有 ? G ?个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设
ar = as (0 ≤ r < s ≤ ? G ? )
于是as-r = e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数? G ? .
定理6.14 设
几个典型的代数系统
