三 直线的参数方程
[对应学生用书P27]
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为?
?x＝x0＋tcos α?
??y＝y0＋tsin α
(t为参数)
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数． (2)当M0M―→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
[对应学生用书P27]
[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．
[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．
3
[解] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，
4334
则tan α＝，sin α＝，cos α＝.
455又点P(1,1)在直线l上，
4
x＝1＋t，??5
所以直线l的参数方程为?3
y＝1＋t??5
直线的参数方程
(t为参数)．
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．
4
由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
5
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0
的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．
5π
1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．
6
5π
x＝2＋tcos ，??6
的参数方程为?5π
y＝－4＋tsin??6
解析：直线l
(t为参数)，即
3
?x＝2－t，?2?1y＝－4＋t??2
(t为参数)．
3
?x＝2－t，?2答案：?
1
y＝－4＋t??2
(t为参数)
π
2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间
4的距离．
2
?x＝3＋t，?2
解：设直线的参数方程为?
2
y＝4＋t，??2将它代入已知直线3x＋2y－6＝0， 得3(3＋
22
t)＋2(4＋t)＝6. 22
112
解得t＝－，
5
112
∴|MP0|＝|t|＝.
5
π
[例2] 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，
6(1)写出直线l的参数方程．
(2)设l与圆x＋y＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．
π[解] (1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，
6
2
2
直线参数方程的应用 ??
∴直线的参数方程为?π
y＝1＋tsin，??6
x＝1＋tcos，
3
?x＝1＋t，?2即?
1y＝1＋t??2
π
6
为所求．
(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为
A(1＋
3131
t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)， 2222
2
2
2
以直线l的参数方程代入圆的方程x＋y＝4整理得到t＋(3＋1)t－2＝0，① 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数
t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
π22
3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x＋y＝7相交于A、B两点．
6(1)求弦长|AB|； (2)求A、B两点坐标．
π
解：∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，
63
?x＝－4＋t，?2
∴可设直线l的参数方程为?
ty＝??2.代入圆方程，得(－4＋
2
3212
t)＋(t)＝7. 22
整理得t－43t＋9＝0. 设A、B对应的参数分别t1和t2， 由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝
t1＋t2
2
－4t1t2＝23.
解得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程 3
?x＝－4＋t，?2?1??y＝2t，
13353得A点坐标(，)，B点坐标(－，)．
2222
42
4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y3＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P，M间的距离|PM|； (2)点M的坐标．
4
解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0)，斜率为，
34
设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，
3
34
cos α＝，sin α＝，
55∴直线l的参数方程的标准形式为 3
x＝2＋t，??5?4??y＝5t
(t为参数)． *
∵直线l和抛物线相交，
∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y＝2x中， 整理得8t－15t－50＝0，Δ＝15＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t1，t2，
1525由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.
84由M为线段AB的中点， 根据t的几何意义，得|PM| ＝?
2
2
2
?t1＋t2?＝15.
??2?16
15
(2)因为中点M所对应的参数为tM＝，
16将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)， 31541x＝2＋×＝，??51616得?4153
y＝??5×16＝4，
即M?
?41，3?.
??164?
[对应学生用书P28]
一、选择题
?2?
1．直线的参数方程为?
3
y＝2－t，??2
tx＝－1＋，
M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
