三 直线的参数方程
[对应学生用书P27]
1.直线的参数方程
(1)过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数为?
?x=x0+tcos α?
??y=y0+tsin α
(t为参数)
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0,π)时,sin α≥0. 2.直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离. (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时,t取正数. (2)当M0M―→与e反向时,t取负数,当M与M0重合时,t=0.
[对应学生用书P27]
[例1] 已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)的距离.
[思路点拨] 由直线参数方程的概念,先求其斜率,进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值,从而得到直线参数方程.
3
[解] 由直线方程3x-4y+1=0可知,直线的斜率为,设直线的倾斜角为α,
4334
则tan α=,sin α=,cos α=.
455又点P(1,1)在直线l上,
4
x=1+t,??5
所以直线l的参数方程为?3
y=1+t??5
直线的参数方程
(t为参数).
因为3×5-4×4+1=0,所以点M在直线l上.
4
由1+t=5,得t=5,即点P到点M的距离为5.
5
理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义,即直线上动点M到定点M0
的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键.
5π
1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为,则直线l的参数方程为________________.
6
5π
x=2+tcos ,??6
的参数方程为?5π
y=-4+tsin??6
解析:直线l
(t为参数),即
3
?x=2-t,?2?1y=-4+t??2
(t为参数).
3
?x=2-t,?2答案:?
1
y=-4+t??2
(t为参数)
π
2.一直线过P0(3,4),倾斜角α=,求此直线与直线3x+2y=6的交点M与P0之间
4的距离.
2
?x=3+t,?2
解:设直线的参数方程为?
2
y=4+t,??2将它代入已知直线3x+2y-6=0, 得3(3+
22
t)+2(4+t)=6. 22
112
解得t=-,
5
112
∴|MP0|=|t|=.
5
π
[例2] 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=,
6(1)写出直线l的参数方程.
(2)设l与圆x+y=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程;(2)充分利用参数几何意义求解.
π[解] (1)∵直线l过点P(1,1),倾斜角为,
6
2
2
直线参数方程的应用 ??
∴直线的参数方程为?π
y=1+tsin,??6
x=1+tcos,
3
?x=1+t,?2即?
1y=1+t??2
π
6
为所求.
(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为
A(1+
3131
t1,1+t1),B(1+t2,1+t2), 2222
2
2
2
以直线l的参数方程代入圆的方程x+y=4整理得到t+(3+1)t-2=0,① 因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2. 所以|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时,不必求出交点坐标,根据直线参数方程中参数
t的几何意义即可求得结果,与常规方法相比较,较为简捷.
π22
3.直线l通过P0(-4,0),倾斜角α=,l与圆x+y=7相交于A、B两点.
6(1)求弦长|AB|; (2)求A、B两点坐标.
π
解:∵直线l通过P0(-4,0),倾斜角α=,
63
?x=-4+t,?2
∴可设直线l的参数方程为?
ty=??2.代入圆方程,得(-4+
2
3212
t)+(t)=7. 22
整理得t-43t+9=0. 设A、B对应的参数分别t1和t2, 由根与系数的关系得t1+t2=43,t1t2=9 ∴|AB|=|t2-t1|=
t1+t2
2
-4t1t2=23.
解得t1=33,t2=3,代入直线参数方程 3
?x=-4+t,?2?1??y=2t,
13353得A点坐标(,),B点坐标(-,).
2222
42
4.如图所示,已知直线l过点P(2,0),斜率为,直线l和抛物线y3=2x相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求:
(1)P,M间的距离|PM|; (2)点M的坐标.
4
解:(1)由题意,知直线l过点P(2,0),斜率为,
34
设直线l的倾斜角为α,则tan α=,
3
34
cos α=,sin α=,
55∴直线l的参数方程的标准形式为 3
x=2+t,??5?4??y=5t
(t为参数). *
∵直线l和抛物线相交,
∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y=2x中, 整理得8t-15t-50=0,Δ=15+4×8×50>0. 设这个二次方程的两个根为t1,t2,
1525由根与系数的关系得t1+t2=,t1t2=-.
84由M为线段AB的中点, 根据t的几何意义,得|PM| =?
2
2
2
?t1+t2?=15.
??2?16
15
(2)因为中点M所对应的参数为tM=,
16将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*), 31541x=2+×=,??51616得?4153
y=??5×16=4,
即M?
?41,3?.
??164?
[对应学生用书P28]
一、选择题
?2?
1.直线的参数方程为?
3
y=2-t,??2
tx=-1+,
M0(-1,2)和M(x,y)是该直线上的定点和
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
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