2019年 平行与垂直的综合问题 ?角度1 多面体中平行与垂直关系的证明 (2016·江苏高考) 如图7-4-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
图7-4-6
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明] (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
2019年
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 3分 又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F. 5分
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 7分
又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 10分
又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 12分
[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． 2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用． ?角度2 平行垂直中探索开放问题
(2017·秦皇岛调研)如图7-4-7(1)所示，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7-4-7(2)所示．
(1) 图7-4-7
(1)求证：A1F⊥BE；
(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.
[证明] (1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC. 所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1， 因为DC∩DA1＝D，
所以DE⊥平面A1DC. 2分 由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D， 所以A1F⊥平面BCDE， 又BE平面BCDE， 所以A1F⊥BE. 5分
(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. 6分 理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.
2019年
66482337】
(2)
【导学号：
2019年
又因为DE∥BC，则DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP. 9分 由(1)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1C⊥DP. 又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ. 12分 [规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
线面角的求法与应用
2019年
(2016·浙江高考)如图7-4-8，在三棱台ABC-DEF中，平
面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
图7-4-8
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
2020高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节垂直关系教师用书文北师大版
