2024年
图7-4-2
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积． [解] (1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD， 所以AB⊥CD. 2分 又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB平面ABD，BD平面ABD，
所以CD⊥平面ABD. 5分 (2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.
112
又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×1＝. 8分
2211
因为M是AD的中点，所以S△ABM＝S△ABD＝.
24根据(1)知，CD⊥平面ABD， 则三棱锥C-ABM的高h＝CD＝1， 11
故VA-MBC＝VC-ABM＝S△ABM·h＝. 12分
312
[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)判定定理；
(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)； (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)； (4)面面垂直的性质．
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
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[变式训练1] 如图7-4-3所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O3
上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
图7-4-3
求证：PA⊥CD.
[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC，得∠ABC＝30°. 3设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2
＝DB2
＋BC2
－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2
＋DB2
＝BC2
，即CD⊥AO. 8分 因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD. 12分
面面垂直的判定与性质
2024年 分 2024年
(2017·郑州调研)如图7-4-4，三棱台DEF-ABC中，AB＝
2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
图7-4-4
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. [证明] (1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M， 连接MH. 1分 在三棱台DEF-ABC中，
AB＝2DE，G为AC的中点，
2024年
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形. 3分 则M为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以HM∥BD，
由于HM平面FGH，BD 故BD∥平面FGH. 5分 (2)连接HE，CE，CD.
平面FGH，
因为G，H分别为AC，BC的中点， 所以GH∥AB. 6分 由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H为BC的中点， 所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形， 所以CF∥HE. 10分 由于CF⊥BC，所以HE⊥BC. 又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H. 所以BC⊥平面EGH. 又BC平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH. 12分
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：
(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
2024年
2．垂直问题的转化关系：
[变式训练2] 如图7-4-5，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
图7-4-5
(1)求证：PB∥平面MNC；
(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.
[证明] (1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分
又因为MN平面MNC，PB所以PB∥平面MNC. 5分
平面MNC，
(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 7分 因为平面PAB⊥平面ABC，
CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.
所以CM⊥平面PAB. 10分 因为PA平面PAB，所以CM⊥PA.
又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC. 12分
2024高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节垂直关系教师用书文北师大版
