板块二.三角函数的图像
与性质
典例分析
题型一：三角函数的单调性与值域
【例1】 函数y?1??(??x?)的值域是（ ） tanx44A [?1,1] B (??,?1)U(1,??) C (??,1]
D [?1,??)
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】选择
【答案】B
【例2】 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：
1216（1）tan(?138o)与tan125o；（2）tan(?)与tan(??)。
35【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】解答
【答案】（1）因为tan(?138o)?0，而tan125o?0，故tan(?138o)?tan125o。
（2）tan12?2?2?， ?tan(2??)?tan555tan(?16?2?2?， )?tan(?6??)?tan3332?2??0，tan?0， 5312?16??tan(?) 53∵tan∴tan
【例3】 函数y?cos(sinx)的值域为_______
1
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【关键词】2006年，辽宁，高考
【题型】填空
【解析】 t?sinx的值域为[?1,1]，而y?cost在[?1,1]上先增后减，最大值在t?0处取
到，故结合y?cost的图象知y?cos(sinx)的值域为[cos1,1]
【答案】[cos1,1]
【例4】 若函数y?a?bcosx的最大值是
31，最小值是?，求函数y??4asinbx的最大22值与最小值及周期。
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】解答
【答案】∵?1?cosx?1，当b?0时，?b?bcosx?b，
∴a?b?a?bcosx?a?b，∴??a?b?1.5?a?0.5，解得?，
a?b??0.5b?1???a?b?1.5?a?0.5，此时?，
a?b??0.5b??1??∴y??2sinx，同理可得当b?0时，?∴y??2sin(?x)?2sinx，
从而，y??2sinx，此函数的最大值是2，最小值是?2，周期是2?。 点评：本题须对b进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况。
【例5】 函数y?1?2sinx的值域是（ ）。 A [?2,1] B [?1,3]
C [0,1]
D [?2,2]
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】选择
【答案】B
【例6】 下列说法①sin1?sin2②sin2?cos2③sin4?cos4④sin19?13??cos(?)，其中1010正确的是（ ）
2
A ①② B ①③ C ②③ D ③④
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】选择
【答案】B
【例7】 根据正弦函数的图像得使不等式2?2sinx?0,x?R成立的x的取值集合为
（ ）
A [?C [?3??,?] 44
?3?B [,]
443???3??2k?,??2k?] D [?2k?,?2k?] 4444【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】选择
【答案】C
【例8】 比较大小：sin510o___________sin142o；cos750o___________cos(?760o)。
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】填空
【答案】?,?；
【例9】 函数y?3sin(?3x),x?[?,]的单调递增区间是_________。
622???【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】填空
?2?【答案】[?,]
99
3
【例10】 利用图像解不等式tan(x?)?3。
6?【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】解答
【答案】利用图像知，?解得??2?k??x??6??3?k?,k?Z，
2???k??x??k?,k?Z， 362???k??x??k?,k?Z}}。 36从而原不等式的解集是：{x|?
【例11】 比较tan3与tan8的大小。
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【关键词】无
【解析】 略
【题型】解答
【答案】∵tan8?tan(8?2?)，而
?2?8?2??3??，
?又函数y?tanx在(,?)上是增函数。
2∴tan3?tan(8?2?)，即tan3?tan8。
点评：将弧度制3与8化成同一单调区间内的正切函数，然后利用正切函数的单调性比较大小。
??????【例12】 已知f(x)?sin??x??(??0)，f???3???6????????f??，且f(x)在区间?，?有最小值，?3??63?无最大值，则?＝__________.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】4星 【关键词】2008年，辽宁，高考
?π??π?????【解析】 由f???f??，且f(x)在区间?，?有最小值，无最大值，
?6??3??63?【题型】填空
π?ππ?有?,?在同一个周期内，因此有x?为此函数的一条对称轴
4?63?
4
πππ∴???2kπ?(k?Z)， 43210?ππ?∴??8k?(k?Z)，又∵f(x)在?,?有最小值，无最大值
3?63?14∴f(x)的周期要取最大，?要取最小，∴当k?1时，??
314【答案】
3 【例13】 函数y?sinπt]上恰好取得最大值，则实数t的取值范围x在区间[0，3是 .
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】3星 【关键词】2008年江苏盐城
【解析】∵f(?1.5)?f(?1.5?3)?f(1.5)，∴f(?1.5)??f(1.5)
∴f(1.5)?0，从而有f(4.5)?0，∴f(x)?0在(0,6)内至少还有两个根1.5和4.5 此题为高考题中的一道有问题的题目.
?1527?【答案】?，?
?22?
【题型】填空
ππ【例14】 设函数f(x)?2sin(x?),若对任意x?R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则
25x1?x2的最小值( )
A.4 B.2 C.1 D.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】3星 【关键词】无
【解析】 ∵对任意x?R都满足f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
1 2【题型】选择
∴(x1,f(x1))为最小值点，(x2,f(x2))为最大值点， 又f(x)的最小正周期T?4，x1?x2min?【答案】B
【例15】 求下列不等式x的取值范围.
T?2 2⑴2sinx?1≥0；
π⑵2cos(3x?)?1≤0.
6【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星
5
【题型】解答
高考数学讲义三角函数.板块二.三角函数的图像与性质1.教师版
