(胡不归问题变式)
【变式训练】
(阿氏圆问题)
1.（1）【问题提出】：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，
1 ⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 AP＋ BP 的最小值． 2
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在
CD CP 1 ? ? ，又∵∠PCD＝∠BCP,∴△PCD∽△BCP, CP CB 2 11PD 1 ∴ ? ,∴PD＝ BP,∴AP＋ BP＝AP＋PD． BP 2 2 2 CB 上取点 D，使 CD＝1，则有 1 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋ BP 的最小值为 ． 2 1 （2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP＋BP 的最小 3 值为
． （3）.【拓展延伸】：已知扇形 COD 中，∠COD＝90o，OC＝6，OA＝3，OB＝5，
点 P 是 CD 上一点 ，则 2PA＋PB 的最小值为 答案： 37 ， 37 ，13.
3 2
． 2. 如图，在直角坐标系中，以原点 O 为圆心作半径为 4 的圆交X 轴正半轴于点A，
1
点 M 坐标为（6,3），点 N 坐标为（8,0），点 P 在圆上运动，求PM ? PN 的最小值
2
为__________．
3. 如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为上
一动点，求
3 2
PC+PD 的最小值为 ．
答案：5， 2 .
【中考真题】
(阿氏圆问题)
x2 bx c 与直线 AB 交于 A
4, 4 ， B 0, 4
（2017·甘肃兰州）如图，抛物线 y
两点，直线 AC : y
1
x 6 交 y 轴与点C ，点 E
2
是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF x 轴交 AC
于点 F ，交抛物线于点G .
(1) 求抛物线 y
x2 bx c 的表达式；
(2) 连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边
形时，求点G 的坐标；
(3) ①在 y 轴上存在一点 H ，连接 EH ， HF ，
当点 E 运动到什么位置时，以 A, E, F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E, H
的坐标；
②在①的前提下，以点 E 为圆心， EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求
1 2
AM CM 的最小值.
答案：(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）； (3)①E（﹣2，0）．H（0，55 ﹣1）；② ．
2写在最后： “胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB” （k≠1 的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB 这条线段的长度转化为某条具体线段 PC 的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对 k 值进行转化，“胡不归”需要构造某角
的正弦值等于k(如k 值＞1 则要先提取 k 去构造某角的正弦值等于 1 或等于 k 2 )
k
k1
将 k 倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题； “阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要 信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k 值如大于 1 则将线段扩大相同的倍数取点，k 值如小于 1 则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
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“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)
