数系的扩充与复数的引入

长沙县实验中学2012届高考数学（文）第一轮复习讲义

数系的扩充与复数的引入

长沙县实验中学 徐国军

【高考目标定位】

一、考纲点击

1、理解复数的基本概念；2、理解复数相等的充要条件；

3、了解复数的代数表示法及其几何意义；4、会进行复数代数形式的四则运算； 5、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、热点提示

1、复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；

2、复数的代数运算是高考的另一热点点，以选择题、填空题的形式的出现，属容易题。

【考纲知识梳理】

1、复数的有关概念 （1）复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R). （3）共轭复数：a+bi与c+di共轭?a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。 （4）复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模

uuur22向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记叙|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=a?b。

2、复数的几何意义

?复平面内的点Z（a,b）(a,b∈R); （1）复数z=a+bi????uuur?平面向量OZ（a,b∈R）（2）复数z=a+bi????。

一一对应一一对应3、复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

长沙县实验中学2012届高考数学（文）第一轮复习讲义

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i; ②减法：z1- z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i; ③乘法：z1· z2=( a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：

z1a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i???(c?di?0) 22z2c?di(c?di)(c?di)c?d(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。

考点例析：

一、复数的有关概念 ※相关链接※

?实数b?0?1、复数的分类: a?bi??纯虚数a?0

?虚数b?0?虚数a?0??2、处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题。

※例题解析※

〖例〗当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i

(1) 纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。 思路解析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。

解答：根据复数的有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。

2??lg(m?2m?2)?0（1）若z为纯虚数，则?2,解得m=3

??m?3m?2?02??lg(m?2m?2)?0（2）若z为实数，则?2,解得m=-1或m=-2

??m?3m?2?02??lg(m?2m?2)?0（3）若z的对应点在第二象限，则?2,解得-1

??m?3m?2?0长沙县实验中学2012届高考数学（文）第一轮复习讲义

1+3

（3）-1

1.（2010湖南文数）1. 复数

2等于 1?iA. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 解：A

2.（2011上海理19）已知复数z1满足(z1?2)(1?i)?1?i（i为虚数单位），复数z2的虚部

为2，z1?z2是实数，求z2。 解： (z1?2)(1?i)?1?i?z1?2?i

设z2?a?2i,a?R，则z1z2?(2?i)(a?2i)?(2a?2)?(4?a)i， ∵ z1z2?R，∴ z2?4?2i

二、复数的代数运算 ※相关链接※

1、在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度： （1）?1?i??2i,?2??1?i???2i,?3?（4）

221?i?i 1?i1?i??i,（5）?b?ai?i?a?bi?, 1?i4n（6）i?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,n?N

2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。

※例题解析※ 〖例〗讲义例2: 当堂应用落实:

长沙县实验中学2012届高考数学（文）第一轮复习讲义

2?i?1?2i1.（2011全国新课标理1）（1）复数 33i?i55（A） （B） （C）?i （D）i

【答案】C

?3?i?2.（2010全国卷2理数）（1）复数???

?1?i?（A）?3?4i （B）?3?4i （C）3?4i （D）3?4i 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

2?(3?i)(1?i)??3?i?2【解析】??(1?2i)??3?4i. ????2???1?i?3.（2011湖南理1）若a,b?R，i为虚数单位，且(a?i)i?b?i则

A．a?1，b?1

B．a??1,b?1 D．a?1,b??1

C．a??1,b??1

4、讲义例2：答案：(1)A (2)A

三、复数加减法的几何意义 ※相关链接※

22uuur复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z、平面向量OZ一一对应

例题：讲义例3：

注：①解决这类题目是利用复数a+bi(a,b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解。

②复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z=x+yi,依据是复数相等的充要条件。 当堂应用落实:

1. （2010北京理数）（9）在复平面内，复数答案：（-1,1）

2.（2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______ [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。

2i对应的点的坐标为 。 1?i长沙县实验中学2012届高考数学（文）第一轮复习讲义

【感悟高考真题】

2.（2010浙江理数）（5）对任意复数z?x?yi?x,y?R?，i为虚数单位，则下列结论正确的是

222（A）z?z?2y （B）z?x?y

（C）z?z?2x （D）z?x?y

222解析：可对选项逐个检查，A项，z?z?2y，故A错，B项，z?x?y?2xyi，故B

错，C项，z?z?2y，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题

6.（2010湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是

A．E B.F C.G D.H 【答案】D

【解析】观察图形可知z?3?i,则即对应点H（2，－1），故D正确.

7.（2010上海文数）4.若复数z?1?2i（i为虚数单位），则z?z?z? 6?2i 。

解析：考查复数基本运算z?z?z?(1?2i)(1?2i)?1?2i?6?2i

z3?i??2?i，1?i1?iz1?i