学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧
小结 化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.
确定积分限采用穿线法，若先对y后对x积分，则将积分区域投影在x轴上，可得x的变化范围.再过固定的x点作一平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，则可得到y的变化范围.从而可将积分域D用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数. 小结 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先r后?，定限时仍采用“穿线法”。为确定?的变化范围，从极点出发作射线穿过区域D，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分域D开始接触时的?角即为?的下限，离去时的?角即为上限；又由于极径r?0，穿入时碰到的D的边界曲线r1???为下限，穿出时离开的D的边界曲线r2???为上限. 小结 计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域D的形状和被积函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表18—1表示. 表18—1 积分区域的形状 D为矩形、三角被界函数的形状 应选坐标系 直角坐标系 形、或其他形状 D为圆域、圆环f?x,y? 域、扇形域或环扇形域 ?y?fx2?y2或f?? ?x???极坐标系 小结 利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.
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小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加.
5．计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？
“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：
如果域?界于平面z?c1和z?c2?c1?c2?之间，用任一平行于xOy面的平面
z?z去截域
c2c1?
(c1?z?c2)得平面区域
D?z?，则有????f?x,y,z?dV??dz??f?x,y,z?d?.当被积函数f?x,y,z?仅是z的函数，而截得D?z?的区域D?z?的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法.
小结 用不等式组表示空间区域?的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域?向xOy面投影得到的投影区域是Dxy，过Dxy中任一点由下向上作平行于z轴的直线穿过空间区域?时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面z?f1?x,y?和穿出时离开的曲面z?f2?x,y?，于是变量z的变化范围是f1?x,y??z?f2?x,y?，?x,y??Dxy，然后再根据区域?在xOy面上的投影区域Dxy确定变量y与x的变化范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域?向yOz面或zOx面投影，分析方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。
小结 三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分），从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算步骤与二重积分相似：
（１）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐
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标系极适当的积分次序；
（２）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；
（３）确定积分限，化为三次积分； （４）计算积分．
可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限．
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