学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧
????f??1??f??2????2f??2??0（因为f?x?递减取正值）.
即 ??f?x?dx???f?x?dx ?0?????1?. ┃
0???例10 设f?x?在?0,b?上连续且单调递增，证明：当0?a?b时，有 ?xf?x?dx?abbbaa??fxdx?f?x?dx. （10．1） ??0022分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将b换成u，作辅助函数F?u?，即需证F?b??0. 证 作F?u???xf?x?dx?auuuaa??fxdx?f?x?dx ?a?u?b?， ??002211u?则 F?u??uf?u??uf?u???f?x?dx 220 ?1u?f?u??f?x??dx?0（因为f?x?递增，f?u??f?x??0） ?02于是，由拉格朗日中值公式，有 F?b??F?a??F?????b?a??F?????b?a??0. ?a???b?. 即式（10．1）成立. 例11 设f??x?在?a,b?上连续，且f?a??0，证明 ?baM?b?a?f?x?dx?,M?maxf??x?. a?x?b22分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计f?x?. 证 因为f??x?在?a,b?上连续，故有界，即存在M?0，使f??x??M，x??a,b? f?x??f?x??f?a???x?a?f?????M?x?a?, 故 ?baf?x?dx??f?x?dx ab2?b?a?. ┃ ??M?x?a?dx?M?ab2例12 设f?x?在?0,a?上二阶可导，且f???x??0，证明
a?a? ?f?x?dx?af??.
0?2?分析 已知f?x?二阶可导，可考虑利用f?x?的一阶泰勒公式估计f?x?；又所证
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的不等式中出现了点证 f?x?在
aa，故考虑使用x0?处的泰勒公式. 22a处的一阶泰勒公式为 22a?f??????a??a??a??f?x??f???f????x???x???，
2?2！?2??2??2??其中，?在x与
a之间.利用条件f???x??0，可得 2a??a??a?? f?x??f???f????x??， 2??2??2??两边从0到a取积分，得 ?a0a??a??a?a??a?f?x?dx?af???f?????x??dx?af??. ┃ 2??2??2?0??2?小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法： （1） 利用定积分的保序性； （2） 利用积分上限函数的单调性.
三、定积分的应用
例13 求由曲线xy?a?a?0?与直线x?a,x?2a及y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴及y?1旋转一周所成的旋转体的体积. yxy=aFGOAD(a,1)C(2a,0.5)Bx图11—8
解 （1）绕x轴旋转，积分变量为x,x??a,2a? V??2aa1?a????dx??a.
2?x?2第 7 页 共 13 页
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（2）绕y轴旋转 （3）绕y＝1旋转
解法1 取y为积分变量，y??0,1?，直线x?a及x?2a和双曲线xy?a的交点D及C的纵坐标分别为y?1和y?
1
.设平面图形CDFG，BCGO及ADFO（见图112
—8）绕y轴旋转而成的立体的体积分别为V1,V2和V3，则所求旋转体的体积为 V?V1?V2?V3
?a??222???dy?2a??a?2?a. ??1???y?2?2?12?1??1?解法2 取y为积分变量，y??0,1?，将?0,1?分成两部分区间：?0,?和?,1?. ?2??2??1?在?0,?上，体积元素为 ?2? dV1???2a???a?dy?3?a2dy. 22???1?在?,1?上，体积元素为 ?2???a?2??1?2??1 dV2??????a?dy??a2?2??dy. ?y????????故所求体积为 1?1?? V??3?a2dy??1?a2??1?y2?dy 2??12031 ??a2??a2?2?a2. 22解法3 选x为积分变量，x??a,2a?.将旋转体分割成以y轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间?x,x??x?的窄曲边梯形可近似地看做高为y?的体积，即体积元素为
a dV?2?x?dx.
x2a2aa因此有 V??2?x?dx??2?adx?2?a2.
aaxa，宽为dx的举矩形，它绕y轴旋转而成的圆柱形薄壳x第 8 页 共 13 页
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（3）绕y?1旋转
选x为积分变量，x??a,2a?.
?2?a?2?体积元素为 dV???1??1???dx
?x?????所求体积为 V??2aa?2?9?2?2a?2aa2???1??1???dx?????2???dx axxx????????2a1?1??? ???2alnx?a2???a?2ln2??. x?a2???小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限. （2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若xOy平面中的平面图形D是由曲线y??1?x?,y??2?x?
??2?x???1?x??与直线x?a,x?b所围成，则分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积为 Vx????2?x???1?x?dx22ab?a?Vy?2????2?x???1?x??xdx.b
第二部分 二重（三重）积分
一、重积分的计算及技巧总结 计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是： 1． 直角坐标系下确定积分次序的原则
（1）函数原则
内层积分能够求出的原则.
例如f?x,y??g?x?ey一定应先对x积分，后对y积分.
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例如f?x,y??cos（2）区域原则
若积分区域为Y型（即用平行于x轴的直线穿过区域D，它与D的边界曲线相交最多为两个点），应先对x积分，后对y积分.
若积分区域为X型（即用平行于y轴的直线穿过区域D，它与D的边界曲线相交最多为两个点），应先对y积分，后对x积分.
若积分区域既为X型区域，又为Y型区域，这时在函数原则满足的前提下，先对x积分或先对y积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先采用该积分顺序.
（3）少分块原则
在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单. 2．直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则 （1）每层积分的下限都应小于上限. （2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数. （3）外层积分限必须为常数.
3．当二重积分的积分域D为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有x2?y2的函数形式，即g?x,y??fx2?y2时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先r后?的积分次序. 4．极坐标下积分限的确定 当极点在积分域D之外时 ??f?x,y?d???d??Dyg?y?一定应先对y积分，后对x积分. x???r2????r1???f?rcos?,rsin??rdr.
当极点在积分域D的边界曲线上时 ??f?x,y?d???d??D?r????0f?rcos?,rsin??rdr.
当极点在积分域D内时 ??f?x,y?d???d??D02?2?r???0f?rcos?,rsin??rdr.
r2??? ??f?x,y?d???d??D0r1???f?rcos?,rsin??rdr.
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