学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧
第一部分 定积分的计算
一、定积分的计算
例1 用定积分定义求极限.
1a?2a???nalim(a?0). a?1n??n1x1?a?i?1a解 原式=lim??????xdx=n??1?an0i?1?n?n1a1?01. 1?a例2 求极限 lim?xn1?x2n??0dx. 解法1 由0?x?1，知0?11xn1?x2?x，于是0??n1xn1?x20dx??xndx. 011xn?11xnndx=0. ??0?n???，由夹逼准则得lim?而?xdx?002n??n?10n?11?x解法2 利用广义积分中值定理 ??ba1， f?x?g?x?dx?f????g?x?dx（其中g?x?在区间?a,b?上不变号）abxn1?xn02dx?11??2n?10xndx?0??n?1?. 由于0?11??2n?1，即11??2n有界， 11xndx=0. ?0xdx?n?1?0?n???，故lim02n???1?x1注 （1）当被积函数为Rx,a2?x2或Rx,x2?a2型可作相应变换. 1????如对积分?对积分
3dx0?2x2?11?x?2，可设x?tant； 2ax?x2?a2??x?a?2?2a0x2ax?x2dx?a?0?，由于
，可设
x?a?asint.
对积分?ln201?e?2xdx，可设e?x?sint.
?（2）I??20asint?bcostdt?c,d?0?的积分一般方法如下：
csint?dcost第 1 页 共 13 页
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将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]?，可求出A?B?bc?ad. 则积分 22c?d?ac?bd，
c2?d2I??0???csint?dcost?2A?Bdt?csint?dcost1?2A?Blncsint?dcost20??2A?Blnc. d例3 求定积分?1arcsinx2x?1?x?dx 分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ?11arcsinx2x?1?x?dxt?xx?t22?11arcsint1?t22dt?2?1arcsintdarcsint?arcsin2t21112 3?2. ?16解法2 ?11arcsin2u?2sinucosudu?u2dxx?sinu??2sinucosux?1?x?4x???2423?2?. 16小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元x???t?时还应注意： （1）x???t?应为区间??,??上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行； （3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.
例4 计算下列定积分 sin3xdxcos3x22dx； （1）I1??， I2??0sinx?cosx0sinx?cosx6cosx（2）?2?dx.?1?e?x2???
?解 （1）I1??20sin3xdxsinx?cosx
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cos3u x??u??(?du)
22cosu?sinu?0? =?20cos3xdx?I2.
cosx?sinx12sin3x?cos3xdx 故I1?I2??02sinx?cosx12??122sinx?sinxcosx?cosxdx? =. 2?04????6cosx（2）I??2?dx. ?1?e?x2??x??u?2? ?26cos6u??du?u1?e???2??2cosxdxx1?e ??61?2excos6xcosx?2I????dx?dx??xx??? 2?21?e1?e2? 1??2?cos6xdx??2cos6xdx02?2?531?5?????.642232?? 这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式： ???20sinxdx??2cosndx 0n??n?1??n?3??4?2n?奇数?n?n?2??3?1,? ?? ??n?1??n?3??3?1??,n?偶数?2?n?n?2??4?2小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设x?a?u;积分区间为[-a,a]时，设x??u。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得
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??
20g?sinx?g?cosx?dx??2dx
0f?sinx??f?cosx?f?sinx??f?cosx??例5 设f?x?在?0,??上具有二阶连续导数，f?????3，
且??f?x??f???x??cosxdx?2，求f??0?.
0?解 ??f?x??f???x??cosxdx
0???f?x?dsinx??cosxdf??x?00???sinxf?x?0????0??f?????f??0??2sinx?f??x?dx?cosxf??x?0??sinx?f??x?dx ?0?故 f??0???2?f??????2?3??5. 小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择u,dv的原则； （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.
例6 计算定积分?2n?0sin6xdx（n为自然数）. 解 sin6x是以?为周期的偶函数. 531?5原式?2n?sinxdx?2n?2?sinxdx?4n?2sin6xdx?4??????n?. 00?642282?66??例7 证明积分I??解 I??????0?dx与?无关，并求值. 2?1?x1?x???0?1tdx 2?1?x1?x??? x???0????t?dtx?dx，于是 ??2?2?01?t1?t1?x1?x????????1???dxx?dxI???? 2?2???02?1?x1?x1?x1?x????????? ?1??dx1????arctanx?. ┃ 2?002241?x小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.
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二、含定积分的不等式的证明
例8 证明（1）2e证 （1）f?x??e?121???212e?xdx?2；?2???2x?2?xesintsintdt?0.
?x2?11??x2?在??,?上连续，令f?x??e??2x??0，得x?0.
22??1??11??1??1?比较f??,??f???e2与f?0??1的大小，知在???上的最大值为22?2????2???1?M?f?0??1，最小值为m?f???e2，故 ?2??11?1?1???1?1???x2?m????edx?M???????2???2. ?1?2??2???2??2?21 2e2（2）由于esintsint以2?为周期， F?x???x?2?xesintsintdt??esintsintdt 02?2? ??esintsintdt??esintsintdt. 0??而 ?esintsintdt令u?2??t??e?sinusinudu ?02?? ???e?sintsintdt， 0?因为 esint?e?sintsint?0，t??0,??. 所以 F?x???esint?e?sintsintdt?0 ┃ 0????? 事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x无关，仅为取正值的常数. 例9 设f?x?是?0,1?上单调减少的正值连续函数，证明 ??f?x?dx???f?x?dx ?0?????1?.
0???证 利用积分中值定理，
??f?x?dx???f?x?dx
0???????f??1????????f??2? ?0??1??,???2???1?
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