引论试题（11页）
4 试证：对任给初值x0, 求开方值a(a?0)的牛顿迭代公式
axk?1?1,2,...... 2(xk?xk),k?0,1恒成立下列关系式：
(1)xk?1?a?
证明：
12xk(xk?a)2,k?0,1,2,....
(2)xk?a,k?1,2,......xk?a1?a?xk?2axk?a（1）xk?1?a??xk????a?2?xk?2xk2xk2??2
（2） 取初值x0?0，显然有xk?0，对任意k?0，
1?a?1?a????a?a ?xk?1??x??x?kk??2?xk?2?xk???
6 证明：
若xk有n位有效数字，则xk?8?21?101?n， 2xk?81?8??x??8?而xk?1?8?? k??2?xk?2xk??2?xk?8?2.51 ?102?2n1?xk?1?8?4??101?2n2?2.52?xk?1必有2n位有效数字。
8 解：
此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：
*m**（设x的近似数x可表示为x??0.a1a2.....an?10，如果x具有l位有效数字，则其相
对误差限为
x?x*x*?1?10??l?1?，其中a1为x*中第一个非零数） 2a1则x1?2.7，有两位有效数字，相对误差限为
e?x11??10?1?0.025 x12?2x2?2.71，有两位有效数字，相对误差限为
e?x21??10?1?0.025 x22?2x3?2.718，有两位有效数字，其相对误差限为：
x3?e1??10?3?0.00025 x32?2②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于x1?2.7，x1?e?0.0183
?其相对误差限为
x1?e0.0183??0.00678 x12.7同理对于x2?2.71，有
x2?e0.0083??0.003063 x22.71对于x3?2.718，有
x3?e0.0003??0.00012 x32.718
备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。
11. 解:
22255?3.142857......，?3.1415929....... 7113?221????10?2，具有3位有效数字 722551????10?6，具有7位有效数字 11329.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。 令x1,x2,x3所对应的真实值分别为x1,x2,x3，则
***11?101?l=?10?2 221*?2 ∣x1-x1∣/∣x1∣＜?10/2.72＜0.00184
211*?51?l ② ∣x2-x2∣≤?10=?10
221*?5 ∣x2-x2∣/∣x2∣＜?10/2.71828＜0.00000184
211*?41?l ③ ∣x3-x3∣＜?10=?10
221?4* ∣x3-x3∣/∣x3∣＜?10/0.0718＜0.000697
2 ① ∣x1-x1∣≤
*
12.解：
2x211?x⑴ －=
(1?2x)(1?x)1?2x1?xsin2x2x ⑵ 1-cosx==2sin
1?cosx2xnx2xnx2 ⑶ e?1≈1+x++…+-1=x++…+
2!n!2!n!x
13.解：⑴ x?11-x?=xx2/x
11x??x?xx ⑵
?x?1x1dt=arctan(x?1)-arctanx 21?t 设arctan(x?1)=a，arctanx=b,则
tan(a?b) =
1tana?tanb=
1?tana?tanb1?x(x?1)1
1?x(x?1) ?arctan(x?1)-arctanx=arctan ⑶ ln(x?x?1)=ln21x?x2?1=ln1?ln(x?x2?1)=-ln(x?x2?1)
习题一（54页） 5.证明：
利用余项表达式（11）（19页），当f(x)为次数≤n的多项式时，由于fn?1(x)=0，于
是有Rn(x)=f(x)－Pn(x)=0,即Pn(x)=f(x)，表明其n次插值多项式Pn(x)就是它自身。 9.证明：
由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。 于是对于f(x)=1，有P2(x)=f(x)
即，l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+l2(x)f(x2)=f(x) 则，l0(x)+l1(x)+l2(x)=1 11.分析：
f(n?1)(?) 由于拉格朗日插值的误差估计式为f(x)－Pn(x)=
（n?1)!nf(n?1)(?) 误差主要来源于两部分和?(x?xk)。
（n?1)!k?0n?(x?x)
kk?0n 对于同一函数讨论其误差，主要与
?(x?x)有关。
kk?0 在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，
2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，x0与0.472更靠近，所以此题应选x0,x1,x2为节点来构造插值多项式。
(1)p2(x)?(x?x1)(x?x2)(x?x0)(x?x2)y0?y1(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x?x1)(x?x0)?y2?0.4955529(x2?x1)(x2?x0)
15.证明：
由拉格朗日插值余项公式有
f2(?)112(x?x) ︱f(x)－p(x)︱≤≤︱(x?x0)(x?x1)︱max︱f(x)︱ ?kx0?x?x12!k?02 由于(x1?x0)=(x1?x?x?x0)=2(x1?x)(x?x0)+(x1?x)+(x?x0)
2222 ≥4(x1?x)(x?x0)
(x1?x0)2 ?︱f(x)－p(x)︱≤max︱f2(x)︱
x0?x?x1820.证明：
当n=1时，F(x0,x1)=
F(x1)?F(x0)f(x1)?f(x0)=C·=Cf(x0,x1)
x1?x0x1?x0 假设当n=k时，结论成立，则有 F(x0,...,xk)= Cf(x0,x1,...,xk)； F(x1,...,xk?1)= Cf(x1,x2,...,xk?1)； 那么，当n=k+1时， F(x0,x1,...,xk?1)=
F(x1,...,xk?1)?F(x0,...,xk)
xk?1?x0f(x1,...,xk?1)?f(x0,...,xk)= Cf(x0,x1,...,xk?1)
xk?1?x0=C
证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）
21.解：
由定理4（26页）可知：
f(n)(?) f(x0,x1,...,xn)=,其中??[minxi,maxxi]
n!0???n 当n>k时，f 当n=k时，f(n)(x)=xk(x)=xk????(n)=0； =k!；
(n)(k)?0,当n?k时 ?f(x0,x1,...,xn)=?
1,当n?k时?13.解：
由题意知，给定插值点为
x0=0.32,y0=0.314567;x1=0.34,y1=0.333487;x2=0.36,y2=0.352274 由线性插值公式知线性插值函数为 P1(x)=
x?x0x?x1x?0.34x?0.32y1=y0+?0.314567+?0.333487
x1?x0x0?x1?0.020.02 当x=0.3367时，
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
