二次函数的模型
【知识简介】
以基本初等函数为模型的应用题常出现在高考中，主要考查学生处理问题、建立函数模型的能力．在高考中常以解答题的形式出现，属于中档题． 【典例】
1(2016·湖北十校联考，17，12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) 【解析】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20 ?a＝－3，??200a＋b＝0，再由已知得?解得? 200?20a＋b＝60，? ?b＝3.故函数v(x)的表达式为 60， 0≤x≤20，??v(x)＝?1 （200－x）， 20 60x， 0≤x≤20，?? f(x)＝?1 x（200－x）， 20 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)取得最大值，其最大值为60×20＝1 200； 1 当20 31?x＋（200－x）?210 000≤3?2?＝3， 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立． 10 000所以，当x＝100时，f(x)取得最大值. 3 1 10 000 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流 3量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．, 解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案． 有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点 (1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解． (2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值． 【针对训练】 1．(2016·河北保定一模，11)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次司机甲、乙同时加同单价的油，但两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( ) A．司机甲的均价低 B．司机乙的均价低 C．油价先高后低司机甲的均价低 D．油价先低后高司机甲的均价低 1．B 设司机甲每次加m升油、司机乙每次加n元钱的油，第一次油价x元/升，第二次油价y元/升． 司机甲这两次加油的均价为 mx＋myx＋y2n2xy ＝(元/升)，司机乙这两次加油的均价为＝(元/升)， 2m2nnx＋y ＋xy ∵x≠y， x＋y2x2＋y2＋2xy4xy∴＝＞＝1， 2xy4xy4xyx＋y即司机乙这两次加油的均价低，故选B. 2. (2015·江西南昌三模，5)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( ) A．10元 B．20元 40C．30元 D.元 3 3．(2015·吉林长春联合测试，6)某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况 3．B 设该股民购这只股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a 则最近四年的年利润分别为3千万元，(3＋x)千万元，(3＋2x)千万元，6.25千万元， 设后两年的年利润增长率为p， （3＋x）（1＋p）＝3＋2x，??∴?25 ??（3＋2x）（1＋p）＝6.25＝4， 3＋x3＋2x 两式相除得＝， 253＋2x 4整理得16x2＋23x－39＝0， 即(x－1)(16x＋39)＝0， 39 解得x＝1或x＝－(舍)， 16 25 则最近四年的年利润分别为3千万元，4千万元，5千万元，千万元， 425 3＋4＋5＋ 473 则该企业这四年的平均年利润为＝＝4.562 5(千万元)． 416【答案】 73 (或4.562 5) 16 5．(2015·河南郑州质检，18，12分)某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成 ?本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝?且每 1 ?2x－200x＋80 000，x∈[144，500）， 2 13 x－80x2＋5 040x，x∈[120，144），3 处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． (1)当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 5．解：(1)当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则 1211 x－200x＋80 000?＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2， S＝200x－??2?22∴当x∈[200，300]时，S<0， 因此该项目不会获利． 当x＝300时，S取得最大值－5 000； 当x＝200时，S取得最小值－20 000. ∴国家每月补偿数额的范围是[5 000，20 000]． (2)由题意可知，二氧化碳的每吨处理成本为 y ＝ x180 000 x＋－200，x∈[144，500），2x y11y ①当x∈[120，144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，∴当x＝120时，取得最小值240； x33x ? ?? 12 x－80x＋5 040，x∈[120，144），3 ②当x∈[144，500)时， y180 000＝x＋－200≥2x2x180 000当且仅当x＝， 2x y 即x＝400时，取得最小值200. x ∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 思路点拨：解题(1)的关键是准确建立获利与月处理量之间的函数关系式；解题(2)时需注意不同“段”上求最值的方法． 6．(2015·江苏徐州模拟，17，14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 180 000x·－200＝200， 2x (2)设投资债券产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元． x1 依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋20－x(0≤x≤20)． 82令t＝20－x(0≤t≤25)， 20－t211则y＝＋t＝－(t－2)2＋3， 828 所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
【专题】不等式的性质与应用：二次函数的模型-高中数学
