第七节 函数的值域与最值

第七节 函数的值域与最值

高考试题

考点一 函数的最值

1.(2009年宁夏、海南卷,文12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

解析:f(x)=min{2,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图所示.

x

x

令x+2=10-x,得x=4.

当x=4时,f(x)取最大值,f(4)=6. 故选C. 答案:C

2.(2012年新课标全国卷,文16)设函数f(x)=

?x?1?

?sinx的最大值为M,最小值为m,则

x2?12M+m= .

x2?1?2x?sinx解析:f(x)= 2x?12x?sinx,

x2?12x?sinx令g(x)=, 2x?1=1+

则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0, 故M+m=2. 答案:2

3.(2010年江苏卷,14)将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,

记s=

?梯形的周长?梯形的面积2,则s的最小值是 .

解析:如图所示,设梯形上底边长为x(0

则梯形两腰长为1-x,高为3 (1-x). 2

x?1?2?1?x????? s=13?x?1???1?x?22=2?3?x?231?x2??4

=-?x?3?. 4·x2?1322?x?3?令u(x)=

2x?1,0

2∵u′(x)=

2?x?3??x2?1??2x?x?3??x?1?22?1?2

=

2?x?3??3x?1??x2,

∴当0

1时,u′(x)>0,u(x)单调递增; 31

3smin=-?1???3?4?3? ×23?1????1?3?2=32 3=323. 3323 3答案:4.(2010年广东卷,文20)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).

(1)求f(-1),f(2.5)的值;

(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 解:(1)f(-1)=kf(1)=-k, ∵f(0.5)=kf(2.5), ∴f(2.5)=

1kf(0.5)=

1k(0.5-2)×0.5=-

3. 4k(2)∵对任意实数x,f(x)=kf(x+2), ∴f(x-2)=kf(x), ∴f(x)=

1kf(x-2),

当-2≤x<0时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,

2

f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+4); 当2

1kf(x-2)=

1k(x-2)(x-4).

?k2?x?2??x?4?,?3?x??2,??kx?x?2?,?2?x?0,?故f(x)=?xx?2,0?x?2, ????1?x?2??x?4?,2?x?3,??k∵k<0,

∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.

(3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,

f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k或f(1)=-1,

2

而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或 f(3)=-

1. k2

故有①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值 f(-3)=-k,

在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.

②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1, 在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.

③-1

1. k考点二 函数的值域问题

1.(2010年山东卷,文3)函数f(x)=log2(3+1)的值域为( )

x

(A)(0,+∞) (C)(1,+∞)

x

(B)[0,+∞) (D)[1,+∞)

x

解析:∵3>0,∴3+1>1,

x

∴log2(3+1)>0. ∴f(x)∈(0,+∞).故选A.