江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高三数学试题
2020．01
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．） ．．．．．．．．．
1．已知集合A＝xx?1，B＝{﹣1，0，1，4}，则A
??B＝ ．
2．已知i是虚数单位，复数z＝(1＋bi)(2 ＋i)的虚部为3，则实数b的值为 ．
3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．
4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．
5．如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为 ．
第4题 第5题 第9题
6．已知等比数列?an?中，a1?0，则“a1＜a2”是“a3＜a5”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）
x2y27．在平面直角坐标系xOy中，己知点F1，F2是双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)的左、右焦
ab点，点P的坐标为(0，b)，若∠F1PF2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．
?x?0?8．若x，y满足约束条件?x?y?0，则z＝x＋3y的最大值为 ．
?x?y?1?0?9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为
2?，弧长为4?cm的扇形，5则该冰淇淋的体积是 cm3．
10．在平面直角坐标系xOy中，若直线x＋my＋m＋2＝0(m?R)上存在点P，使得过点P向
圆O：x?y?2作切线PA（切点为A），满足PO＝2PA，则实数m的取值范围为 ．
1
2211．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y?
1?与函数f(x)?sin(?x?)(?＞0)的图26象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2，…，若点A1的横坐标为1，则点A2
的横坐标为 ．
12．如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，
F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则
PQ?EF的值为 ．
213．已知实数x，y满足x(x?y)?1?2y，则5x?4y的最小
22值为 ． 第12题
?ex，x?2??ex14．已知函数f(x)??（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程
4x?8?，x?2??5xf2(x)?3af(x)?2a2?0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字．．．．．．．
说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
已知向量a＝(sinx，
3)，b＝(cosx，﹣1)． 4（1）当a∥b时，求tan2x的值； （2）设函数f(x)?2(a?b)?b，且x?(0， 16．（本题满分14分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1； （2）若DE⊥AB，求证：AB⊥B1C．
?)，求f(x)的最大值以及对应的x的值． 2
2
17．（本题满分14分）
为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB＝
2?，OB＝23(百米)，荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在AB3上(C与A，B不重合)，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝?，蜂果区的面积为S(平方百米)．
（1）求S关于?的函数关系式；
（2）当?为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值．
18．（本题满分16分）
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的
3x2y2“上辅点”．已知椭圆E：2?2?1(a＞b＞0) 上的点(1，)的上辅点为(1，3)．
2ab（1）求椭圆E的方程； （2）若△OPQ的面积等于
1，求上辅点Q的坐标； 2（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论．
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