课时作业22 简单的三角恒等变换
一、选择题
ππ
－α?＝cos?＋α?，则tanα＝( B ) 1．已知sin??6??6?A．1 1
C. 2
ππ
－α?＝cos?＋α?， 解析：∵sin??6??6?1331
∴cosα－sinα＝cosα－sinα， 2222即?
31??13?cosα，∴tanα＝sinα＝－1.
－sinα＝－cosα?22??22?
B．－1 D．0
cos40°2．化简：＝( C )
cos25°1－sin40°A．1 C.2
解析：原式＝＝cos25°?cos20°－sin20°?＝
2cos25°
＝2. cos25°
cos220°－sin220°
B.3 D．2
cos20°＋sin20°
cos25°
π
α＋?＝( C ) 3．已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sin??4?A．－
10
10
B.10 10
310C．－
10
解析：因为α是第三象限的角，tanα＝2，
310D. 10
sinα??cosα＝2，π525π
α＋?＝sinαcos＋所以?所以cosα＝－，sinα＝－，则sin??4?554
2α＋cos2α＝1，?sin?π25252310
cosαsin＝－×－×＝－. 4525210
π1
2α－?＝( C ) 4．已知cosα－sinα＝，则cos?2??524
A．－
25
4B．－
5
24C. 254D. 5
π1124
2α－?＝sin2α解析：由cosα－sinα＝，得1－sin2α＝，所以sin2α＝，所以cos?2??5252524
＝，故选C. 25
5．(2020·长春质监)直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为( D )
8＋10A.
104C．－
5
8－10B. 104D. 5
解析：设直线y＝2x的倾斜角为β，则tanβ＝2，α＝β－45°， 1所以tanα＝tan(β－45°)＝＝，
1＋tan45°·tanβ31－tan2α4
cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，故选D.
1＋tan2α5
π?4
，π，若sin2α＝，则cosα＝( D ) 6．(2020·济南模拟)已知α∈??4?525
A．－
5C．－
5 5
25B. 5D.5 5
tanβ－tan45°
4
解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝，sin2α＋cos2α＝1，所以25cos4α－25cos2α＋4＝0，解
5145
得cos2α＝或cos2α＝(舍去)，故cosα＝.
555
7.
632＋＝( C ) sin70°cos250°
B．－4 D．46 A．4 C．－46
6cos70°－32sin70°632
解析：原式＝－＝ sin70°cos70°sin70°cos70°13?26?cos70°－sin70°26cos?70°＋60°?2?2?
＝＝ 11sin140°sin40°2226cos130°－26sin40°＝＝＝－46. 11sin40°sin40°22
ππ111
0，?，α＋β∈?，π?，则β为( C ) 8．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈??2??2?714
πA．－
3πC. 3
π1430，?，∴sinα＝解析：∵cosα＝，α∈?. ?2?77
π
B. 6πD．－
6
π?1153，π，∴sin(α＋β)＝∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈?， ?2?1414
11153431
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
1471472πππ
0，?，α＋β∈?，π?，∴β＝. 又∵α∈??2??2?3二、填空题
π17α－?＝，则tanα＝. 9．若tan??4?65ππ
α－?＋? 解析：tanα＝tan???4?4
??ππ1
α－?＋tantan?＋1?4?467
＝＝＝.
π15πα－?·1－1－tan?tan6?4?42sin?π－α?＋sin2α
10．化简：＝2sinα.
α2
2cos
22sin?π－α?＋sin2α2sinα＋2sinαcosα解析：＝
α1＋cosα2
2cos
2＝
2sinα?1＋cosα?
＝2sinα.
1＋cosα
π43?π－α?＝4. α－?＋cosα＝11．(2020·郑州预测)已知cos?，则cos?3??6?55
π43ππ4333
α－?＋cosα＝解析：由cos?可得cosαcos＋sinαsin＋cosα＝，即cosα＋sinα?3?533522πππ43434431
＋α?＝，故cos?－α?＝sin?＋α?＝. ＝，3?cosα＋sinα?＝，得sin??3?5?6??3?552?2?5
A7π12．(2020·太原模拟)在△ABC中，若4cos2－cos2(B＋C)＝，则A＝. 223解析：∵A＋B＋C＝π，即B＋C＝π－A， A
∴4cos2－cos2(B＋C)＝2(1＋cosA)－cos2A
27
＝－2cos2A＋2cosA＋3＝，
211
∴2cos2A－2cosA＋＝0，∴cosA＝. 22
π
又0 cos2α1α－tanα2tan2 . 3tan12°－3 ； sin12°?4cos212°－2? 解：(1)原式＝ 2?2cos212°－1?sin12°3sin12°－3cos12° ＝ 2sin12°cos12°cos24°＝＝ 23?sin12°cos60°－cos12°sin60°? sin24°cos24°43sin?12°－60°? ＝－43. sin48° 3sin12° －3 cos12° cos2αcos2α (2)解法1：原式＝＝ αααα22cossincos－sin2222－ααααsincossincos2222αααα cos2αsincoscos2αsincos2222 ＝＝ ααcosα22cos－sin 22αα11 ＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α. 2224αα cos2αtan2tan2122 解法2：原式＝＝cosα· α2α 1－tan21－tan2 22111 ＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α. 224π x＋?. 14．已知函数f(x)＝2sinxsin??6?(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； π 0，?时，求函数f(x)的值域． (2)当x∈??2?解：(1)因为f(x)＝2sinx? 31?sinx＋cosx 2?2? 1－cos2x1π32x－?＋， ＝3×＋sin2x＝sin?3?2?22 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π. πππ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 232π5π 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 1212 π5π －＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间是?12?12?ππ2ππ 0，?时，2x－∈?－，?， (2)当x∈??2?3?33?π332x－?∈?－，1?，f(x)∈?0，1＋?. sin?3??2?2???故f(x)的值域为?0，1＋ ? 3? . 2? π 15．(2020·贵州适应性考试)设θ∈R，则“0<θ<”是“3sinθ＋cos2θ>1”的( A ) 3A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 解析：3sinθ＋cos2θ>1?3sinθ>1－cos2θ＝2sin2θ? (2sinθ－3)sinθ<0?0 3π33π.当0<θ<时，0 2ππ 2kπ，k∈Z或＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z.所以0<θ<是3sinθ＋cos2θ>1的充分不必要条件， 33故选A. 7 16．(2020·南昌模拟)已知锐角A满足方程3cosA－8tanA＝0，则cos2A＝. 9 1 解析：由题意得，3cos2A－8sinA＝0，所以3sin2A＋8sinA－3＝0，解得sinA＝或sinA 37 ＝－3(舍去)，所以cos2A＝1－2sin2A＝. 9 17．(2020·浙江模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴的正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝ 52 ，点B的纵坐标是. 510
2021届高考数学一轮总复习课时作业22简单的三角恒等变换含解析苏教版
