相似判定和性质补充
一、选择题
1、如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中 共有（ ）对相似三角形．
A．1
B．2 C．3 D．4
2、△ABC中，F是AC的中点，D、E三等分BC、BF与AD、AE分别交于P、Q，则BP：PQ：QF=（ ）
A．5：3：2
B．3：2：1 C．4：3：1 D．4：3：2
3、
..
如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对；
B．6对； C．4对； D．2对．
4、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③
=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
=；④
A .1 B .2 C .3 D .4
5、在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．有下列结论：①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③当△DCE为直角三角形时，BD=8；④3.6≤AE＜10．其中正确的结论是( )
..
A .①③ B .①④ C .①②④ D .①②③
6、如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（ ）
A．
B． C． D．
7、如图，已知AB≠AC，要使△AEF∽△ACB，且EF与BC不平行，还需补充的条件可以是（ ）
A．∠AEF=∠B
B．∠AFE=∠C C．∠AFE=∠B D．∠A=∠A
8、如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：
2
①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能满足△APC与△ACB
..
相似的条件是（ ）
A．①②③
B．①③④ C．②③④ D．①②④
9、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A．
B． C． D．
10、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16
B．1：18 C．1：20 D．1：24
11、如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：
2
①∠ABD=∠ACB；②AB=AD?AC；③AD?BC=AB?BD；④AB?BC=AC?BD．
..
其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．1个
B．2个 C．3个 D．4个
12、如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（ ）
A．
B． C． D．
13、下列判断正确的是（ ）
A．在△ABC 和△DEF中，∠A=40°，∠B=70°；∠D=40°，∠F=80°；则可判定这两个三角形相似
B．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的菱形都相似
..
14、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A．
B． C．
D．
15、如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为（ ）
A．
B． C． D．
二、填空题
16、如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是 __________ ．
..
三、解答题
17、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C． （1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，AD=3，求AE和BF的长．
18、已知：O为四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N． （1）若ABCD为正方形，如图①，猜想：线段OM与ON间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若ABCD为矩形，如图②，且AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，求y与x之间的
函数关系式．
19、如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是AC边上一动点（不与A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD=x，AE=y． （1）求证：△AED∽△CDF；
（2）求y关于x的函数解析式．并写出定义域；
（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH=1时，求线段CD的长．
..
20、定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC=BC?AB，则称点C为线段AB的
2
黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长．
21、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，求证：DH⊥HE．
22、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
..
23、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足
=DB?CE．
（1）说明：△ADB∽△EAC；
（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数。
..
相似判定和性质补充的答案和解析
一、选择题
1、答案： D
试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 试题解析：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°， ∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB， ∴∠CFA=∠BAG， ∴△CAF∽△BGA， ∴△BGA∽△AGF∽△CAF； 还有△ABC≌△DEA， ∴相似三角形共有4对． 故选：D．
2、答案： A
试题分析：过F作FN∥BC，交AE于M，AD于N，根据相似三角形性质和判定求出FQ=BF，PQ=BF，BP=BF，代入求出即可．
试题解析：过F作FN∥BC，交AE于M，AD于N，
∵F为AC中点， ∴FM是△AEC中位线， ∴MF=CE，CE=2FM， ∵BD=DE=CE， ∴BE=2CE=4FM，
..
∵FM∥BC， ∴△FMQ∽△BEQ， ∴
=
=，
∵FN是△ADC的中位线， ∴FN=CD=CE=BD， ∵FN∥BC， ∴△FNP∽△BDP， ∴
=
=1，
∴BP=PF， ∵∴
=， =，
∴FQ=BF，
∵BP=BF，FQ=BF， ∴PQ=PF-QF=BF-BF=BF，
∴BP：PQ：QF=（BF）：（BF）：（BF）=5：3：2． 故选：A．
3、答案： B
试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF， ∴△GAB∽△BCF，
..
还有△ABC≌△CDA（是特殊相似）， ∴共有6对． 故选：C．
4、答案： D
试题分析：
本题考查了相似三角形的判定，根据条件可依次判定是否为相似三角形 ①∵∠B=∠ACD；∠A=∠A∴△ABC∽△ACD，故正确； ②∵∠ADC=∠ACB；∠A=∠A∴△ABC∽△ACD，故正确； ③∵=
对应边成比例∴△ABC∽△ACD，故正确； ④∵
=AD?AB∴
=
对应边成比例，∴△ABC∽△ACD，故正确；
故选：D. 5、答案： C
试题分析：
①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得； ④依据相似三角形对应边成比例即可求得。 解：①∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠ADE=∠B， ∴∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACD； 故①正确； ②作AG⊥BC于G，
..
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=， ∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16， ∵BD=6， ∴DC=10， ∴AB=DC．
在△ABD与△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA）． 故②正确；
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD， ∴∠ADC=∠AED， ∵∠AED=90°， ∴∠ADC=90°， 即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10， ∴BD=8．
当∠CDE=90°时，易证△CDE∽△BAD， ∵∠CDE=90°， ∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=，AB=10， ∴cosB=
=，
，
..
∴BD=．
．
即当△DCE为直角三角形时，BD=8或故③错误；
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16， 设BD=y，CE=x， ∴∴即
∴0＜x≤6.4， ∵AE=AC-CE=10-x， ∴3.6≤AE＜10． 故④正确．
故正确的结论为：①②④． 故选：C．
=， =，
-16y+64=64-10x， =64-10x，
整理得：
6、答案： B
试题分析：由∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，可得△ADC∽△BDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
试题解析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E， ∴△ADC∽△BDE， ∴
，
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3， ∴BD=5，DC=3， ∴DE=故选：B．
=．
7、答案： C
试题分析：利用两角法可判断△AEF∽△ACB，首先∠A=∠A，再添加一个即可．
..
试题解析：∵EF与BC不平行， ∴∠AFE≠∠C，∠AEF≠∠B， 可添加∠AFE=∠B．
证明：∵∠A=∠A，∠AFE=∠C， ∴△AEF∽△ACB． 故选C．
8、答案： A
试题分析：根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到最后答案． 试题解析：∵∠A=∠A
∴①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB时都相似； ∵AC2=AP?AB ∴AC：AB=AP：AC ∴③相似；
④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似． 所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③． 故选A．
9、答案： B
试题分析：本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
试题解析：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选：B．
、
10、答案： C
试题分析：设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出
，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等
..
于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可． 试题解析：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a， ∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等， ∴∴
=， =，
∵DE∥AC， ∴△DBE∽△ABC， ∴S△DBE：S△ABC=1：25， ∴S△ACD=25a-a-4a=20a， ∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20． 故选：C．
11、答案： C
试题分析：利用相似三角形的判定方法，①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似；③利用三角形三边对应比值相等两三角形相似，进而判断得出答案．
试题解析：①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB； ②∵AB=AD?AC
2
∴=，
∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB；
③过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AB，垂足为点F．
..
在Rt△AEB和Rt△AFD中，∵sin∠BAE=sin∠DAF， ∴
=
，即
=
．
又∵AD?BC=AB?BD ∴=，
于是
=．
∴Rt△BDF∽Rt△CBE． ∴∠ABD=∠C． ∴△ABD∽△ACB． ④∵AB?BC=AC?BD， ∴
=
，
∴无法得出△ABD∽△ACB； 故选：C．
12、答案： D
试题分析：利用△DAO与△DEA相似，对应边成比例即可求解． 试题解析：∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE是公共角，∠DAO=∠DEA ∴△DAO∽△DEA ∴ 即
∵AE=AD ∴
故选D．
13、答案： B
试题分析：利用相似图形的定义进行判断后即可确定正确的选项． 试题解析：A、不能得到两对对应角相等，不能判定相似，故错误；
B、有一对锐角对应相等，加上直角对应相等，这样的两个直角三角形相似，故正确；..
C、所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误； D、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误． 故选B．
14、答案： B
试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可． 试题解析：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，
，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选：B．
15、答案： B
试题分析：由AB∥DE可得△CDE∽△CAB，再由AD=5，CD=3，DE=4，可求AB的长．又为AB边上的中线，则F为AB的中点，问题可求． ∵AB∥DE， ∴△CDE∽△CAB， ∵AD=5，CD=3，DE=4， ∴AC=CD+AD=8， ∴
，
∴AB=；
又CF为AB边上的中线， ∴F为AB的中点． ∴BF=
=．
故选B．
..
CF
二、填空题
16、答案：
试题分析：首先根据已知的条件，求出各三角形的内角度数，然后根据相等角去找对应的相似三角形．
试题解析：①∵∠ABC=∠EFC=70°， ∴HF∥DB； ∴△GBD∽△△GFH；
②∵在△BDG中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°； 在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°； ∴△ABC∽△GFH．
③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC为公共角 ∴△EFC∽△GFH；
综上所述，图中与△GFH相似的三角形的个数是3． 故答案是：3．
三、解答题
17、答案：
试题分析：（1）由平行的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质结合勾股定理可求得AE，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． 试题解析：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADE=180°， ∵∠BFE=∠C， ∴∠AFB=∠EDA， ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠AED，
..
∴△ABF∽△EAD；
（2）∵AB∥CD，BE⊥CD， ∴∠ABE=90°， ∵AB=4，∠BAE=30°， ∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=∵△ABF∽△EAD， ∴即∴BF=
， ， ．
，
18、答案：
试题分析：（1）由四边形ABCD为正方形，易证得△AON≌△BOM，然后由全等三角形的性质，证得OM=ON；
（2）首先过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，易证得△FOM∽△EON，然后由相似三角形的对应边成比例，求得y与x之间的函数关系式． 试题解析：（1）OM=ON． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠OAN=∠OBM=45°，∠AOB=90°， ∴∠AON+∠BON=90°， ∵∠BON+∠BOM=90°， ∴∠AON=∠BOM， 在△AON和△BOM中， ∵
，
∴△AON≌△BOM（ASA）， ∴OM=ON；
..
（2）过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=6， ∴OE=AD=3，OF=AB=2，OE⊥OF， ∴∠EOM+∠FOM=90°， ∵∠EON+∠EOM=90°， ∴∠EON=∠FOM， ∵∠OEN=∠OFM=90°， ∴△FOM∽△EON，
∴OM：ON=OF：OE=2：3， ∵OM=x，ON=y，
∴y与x之间的函数关系式为：y=x． 19、答案：
试题分析：（1）易证△BEF≌△DEF，则有∠EDF=∠EBF=60°，由∠A=∠C=∠EDF=60°即可证到△AED∽△CDF；
（2）由△AED∽△CDF可得DF=问题；
（3）在Rt△AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，运用三角函数可求得y=3-x，从而有
=3-x，解这个方程就可解决问题．
，CF=
，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解决
试题解析：（1）证明：如图1， ∵EF垂直平分BD， ∴EB=ED，FB=FD． 在△BEF和△DEF中，
..
，
∴△BEF≌△DEF（SSS）， ∴∠EBF=∠EDF．
∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠C=60°， ∴∠EDF=60°，
∴∠ADE+∠FDC=180°-60°=120°． 又∵∠AED+∠ADE=180°-60°=120°， ∴∠AED=∠FDC， ∴△AED∽△CDF；
（2）∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AB=4． ∵CD=x，AE=y， ∴AD=4-x，ED=EB=4-y． ∵△AED∽△CDF， ∴∴∴DF=
==
=
，
=， ，CF=
．
∵DF+CF=BF+CF=BC=4， ∴
+
=4，
（0＜x＜4）；
整理得：y=
..
（3）如图2，
在Rt△AHD中，
∵AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°， ∴cosA=
=
=，
∴y=3-x， ∴
=3-x，
2
整理得：x-14x+24=0， 解得：x1=2，x2=12， ∵0＜x＜4， ∴x=2，
即CD的长为2． 20、答案：
试题分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC=CD?AC，于是有AD=CD?AC，则可根据线段黄金
2
2
分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，由（1）的结论得到x=1-x，然后解方程即可得到AD的长．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=（180°-36°）=72°， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
2
..
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°， ∴DA=DB，BD=BC， ∴AD=BD=BC， 易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC， ∴AD2=CD?AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点； （2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x， ∵AD2=CD?AC， ∴x2=1-x，解得x1=即AD的长为21、答案：
，x2=，
．
试题分析：首先根据∠BAC=90°，AH⊥BC于H，判断出∠ABH=∠CAH，进而判断出∠DBH=∠EAH；然后根据相似三角形的判定方法，判断出△ABH∽△CAH，即可判断出
，再根据AB=BD，AH=AE，判断出
，据此判断出△BDH∽△AEH，推得
∠BHD=∠AHE；最后判断出∠DHE=90°，即可判断出DH⊥HE． 试题解析：∵∠BAC=90°， ∴∠BAH+∠CAH=90°， ∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°， ∴∠ABH=∠CAH，
又∵∠DBH=∠ABH+60°，∠EAH=∠CAH+60°， ∴∠DBH=∠EAH， 在△ABH和△CAH中，
，
∴△ABH∽△CAH， ∴
..
，
又∵AB=BD，AH=AE， ∴
，
在△BDH和△AEH中，
∴△BDH∽△AEH， ∴∠BHD=∠AHE， ∵∠BHD+AHD=90°， ∴∠AHE+AHD=90°， 即∠DHE=90°， ∴DH⊥HE． 22、答案：
试题分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
（1）证明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C． 在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）∵?ABCD，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴
，∴DE=
=
=12．
=
=6．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=23、答案：
..
（1）证明过程见解析过程 （2）110° 试题分析：
（1）根据AB=AC，求得∠ABD=∠ACE，再利用后即可证明．
（2）由△ADB∽△EAC，得出∠BAD=∠E，∠D=∠CAE，则∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠D+∠BAD+∠BAC，很容易得出答案
=DB?CE，即可得出对应边成比例，然
解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∴∴
=DB?CE ＝＝
∴△ADB∽△EAC．
（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD=∠E，∠D=∠CAE， ∵∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE， ∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC， ∵∠BAC=40°，AB=AC， ∴∠ABC=70°， ∴∠D+∠BAD=70°，
∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC=70°+40°=110°.
..
相似判定和性质补充含解析
