最值问题的探讨
一、线段和最短问题
例1（点在直线异侧）：已知直线L的两侧有两点A和B,在直线L上找一点M,使得AM+BM最
小（线段最短公理）。
例2（点在直线同侧）：将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B。
问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？（将军饮马）（对称法）
应用1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，P为AC上一动点，则当PB+PE取最小值时，求PB+PE______.
应用2、在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的 中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为_______.
应用3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
例3（点在角内部）：如图，∠AOB=45o，P是∠AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OA、OB上的动点则△PQR周长的最小值是 ．
应用4、如图,五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2.在BC,DE上分
别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则△AMN周长的最小值为 ．
二、距离差问题
例4、如图，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的
两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 ．
例5、已知点A（1，5）， B（3，﹣1），在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标
是 ．
口诀：和最小两点在直线异侧，差最大在直线同侧
三、垂线段最短
例6： 如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 ．
应用5、如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 ． 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 ，则BM+MN的最小值为（ ）
A． 10 B． 8 C． 53 D． 6
四、典型例题：如图，A，B两地在一条河的对岸，现要在河上造一座桥MN，问桥造在何处是的A到B走的路线长最短？（桥必须垂直于河岸）
专题10线段和差的最值问题
