同济大学数学系《高等数学》第6版下册笔记和课后习题(含考研真题)详解(第10章)【圣才出品】

www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【定义】设f（x，y，z）是空间有界闭区域?上的有界函数。将?任意分成n个小闭区域?v1,?v2,...?vn,其中?vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个?vi上任取一（?i,?i.?i）?vi（i=1，2，…，n）点，作乘积（f?i,?i.?i），并作和f?,?.?）?v。如果?（

i?1

i

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n

当各小闭区域直径中的最大值?趋于零时和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y，z）在闭区域?上的三重积分。记作fx,y,z）dv，即???（

D

n

fx,y,z）dv=lim?f??,?,???v???（?D

?0

i?1

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，其中dv叫做体积元素。2．三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算。下面按不同的坐标来分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法。（1）利用直角坐标计算三重积分假设平行于z轴且穿过闭区域?内部的直线与闭区域?的边界曲面S相交不多于两点。把闭区域?投影到xOy面上，得一平面闭区域Dxy（图10-4）。以Dxy的边界为准线作母线平行于z轴的柱面。这柱面与曲面s的交线从S中分出的上、下两部分，它们的方程分别为S1:z?z（1x,y）S2:z?z（2x,y）

（（（（其中z与z都是Dxy上的连续函数，且z≤z过Dxy内任一点1x,y）2x,y）1x,y）2x,y）

作平行于z轴的直线，这直线通过曲面S1穿入?内，然后通过曲面S2穿出?外，穿（x,y）

入点与穿出点的竖坐标分别为z与（1x,y）

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