www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第10章重积分10.1复习笔记一、二重积分的概念与性质1．二重积分的概念【定义】设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域??1,??2,...??n，其中??i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个??i上任取一点（?i,?i），作乘积f（?i,?i）??i（i=1，2，…，n），并作和?f(?,?)??i?1
i
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n
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。如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作??f(x,y)d?，即D
n?0
i?1
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i
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?f(?,?)??，??f(x,y)d?=lim?D
其中f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，?f(?,?)??i?1
i
i
n
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叫做积分和。2．二重积分的性质（1）被积函数可加性设α、β为常数，则??[?(x,y)??g(x,y)]d?????f(x,y)d?????g(x,y)d?D
D
D
；（2）积分区域可加性如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部1/93www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与D2,，则??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?。D
D1
D2
（3）积分面积如果在D上，f（x，y）=1，σ为D的面积，则??（4）积分大小不变如果在D上，f（x，y）≤φ（x，y），则有??1?d????d?。D
D
??f(x,y)d?????(x,y)d?。D
D
特殊地，由于?f(x,y)?f(x,y)?f(x,y)，又有??f(x,y)d????
D
D
f(x,y)d?。（5）有界性设M、m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有m????f(x,y)d??M?。D
（6）中值定理设函数f（x，y）在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(?,?)，使得??f(x,y)d??f(?,?)??。D
二、二重积分的计算法本节介绍一种计算二重积分的方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。二重积分的计算在考研数学中基本都会涉及，是比较重要的考点，希望考生能认真掌握这一节的知识。1．利用直角坐标计算二重积分2/93www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（1）先对y再对x求积分我们假定f（x，y）≥0。设积分区域D可以用不等式?（）≤y≤?（１x２x）,a≤x≤b来表示（图10-1），其中函数?在区间[a，b]上连续。（）、?（１x２x）
图10-1先对y再对x求积分则二重积分可以化为如下两次单重积分求解，??f(x,y)d?=?Dba??2?x?f?x,y?dy?dx。?????1?x??上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看做常数，把f（x，y）只看做y的函数，并对y计算从?到?的定积分；然后把算得的结果（是x的（）（）１x２x函数）再对x计算在区间[a，b]上的定积分。（2）先对x再对y求积分类似地，如果积分区域D可以用不等式?1?ｙ??ｘ??２?ｙ?,c?y?d来表示（图10-2），其中函数?（在区间[c，d]上连续，那么，就有）、?（１x２x）
??f(x,y)d?=?D
d
c
??2?x?f?x,y?dx?dy。?????1?x??
3/93www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台图10-2先对x再对y求积分通常称图l0-1所示的积分区域为X型区域，图10-2所示的积分区域为Y型区域。①应用（1）时，积分区域必须是X型区域，X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点；②应用（2）时，积分区域必须是Y型区域，Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。如果积分区域D如图l0-3那样，既有一部分使穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交多于两点；又有一部分使穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D既不是X型区域，又不是Y型区域。对于这种情形，可以把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域。例如，在图10-3中，把D分成三部分，它们都是X型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用（1）。各部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质，它们的和就是在D上的二重积分。图10-3区域分解计算二重积分4/93www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2．利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量ρ、θ表达比较简单。这时，就可以考虑利用极坐标来计算二重积分fx,y）d?。??（
D
?x??cos?直角坐标系与极坐标系间的变化公式为?，则其二重积分变化为，y??sin??
fx,y）dxdy???（f?cos?,?sin?）?d?d?。??（
D
D
其计算方式可以仿照直角坐标下的二重积分计算方式，将二重积分转化为求两次单重积分。3．二重积分的换元法【定理】设f（x，y）在xOy平面上的闭区域D上的连续变换为将uOv平面上的闭区域D?变为xOy平面上的D，且满足T:x?（xu,v）,y=ｙ（u,v）
（1）（在D?上具有一阶连续偏导数；xu,v）,（yu,v）（2）在D?上雅可比式（Ju,v）?
?（x,y）
≠0；?（u,v）
（3）变换T:D??D是一对一的，则有fx,y）dxdy???f[（xu,v）,（yu,v）]|J（u,v）|dudv。??（
D
D?
公式称为二重积分的换元公式。三、三重积分1．三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。5/93
同济大学数学系《高等数学》第6版下册笔记和课后习题(含考研真题)详解(第10章)【圣才出品】
