高一物理竞赛讲义
物系相关速度
研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；
类型1 由杆或绳约束物系的各点速度：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．
1、如图所示，木块在水平桌面上移动的速度是v，跨过滑轮的绳子向下移动的速度是______（绳与水平方向之间的夹角为α）
2、如图所示，湖中一条小船，岸边人用缆绳跨过一定滑轮拉船靠岸，若绳子被以恒定速度v0拉动，当绳与水平方向成α角，此时小船前进的速度为__________。
3、如右图所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平方向上运动．当细绳与水平面成夹角为θ时，求物体B运动的速度．
4、如图3所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，绳与竖直方向夹角α已知，则vx=______v。
5、如图4所示，重物A、B由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在水平面上，用外力水平向左推A，当A的水平速度为vA时，如图中虚线所示，求此时B的速度vB＝______。
6、两只小环O和O?分别套在静止不动的竖直杆AB和A?B?上。
A一根不可伸长的绳子一端固定在A?上，穿过环O?，另一端系在A?环O上（如图）。若环O?以恒定速度v1向下运动，?AOO???，
求环O的速度？
?O?v1 O B?7、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。B小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，α 求两小球实际速度之比va∶vb= . va
b vb
8、如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为VA，求此时B球的速度VB？
A a B ★解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为VA1；一个使杆绕B点转动的分运动，设其速度为VA2。而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为VB，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为VB1，VB1=VA1；一个使杆摆动的分运动设其速度为VB2；
vA2 vvB2 A A1 vB
a vA B vB1
1
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由图可知：VB1?VBsin??VA1?VAcos?
VB?VA?cot?
9、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水平速度V拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为α时，A的运动速度。
类型2 线状相交物系交叉点的速度：相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和
1、如图所示，A、B两直杆交角为θ，交点为M，若两杆各以垂直于自身的速度v1、v2沿着纸面运动，则交点M的速度为多大？
解：如图所示，若B杆不动，A杆以v1速度运动，交点将沿B杆移动，速度为v1’， v1’=v1／sinθ。
若A杆不动，B杆移动时，交点M将沿A杆移动，速度为 v2’， v2’=v2／sinθ。 两杆一起移动时，交点M的速度vM可看成两个分速度V1’和V2’的合速度，
故vM的大小为vM=v'2'2’‘01?v2?2v1v2cos?180???＝v12?v22?2v1v2cos?/sin?
【思路导航】面对这样一道题，很多同学会毫不思考地用矢量合成法，直接求出交点P的速度为vp?v2?v212?2v1v2cos(180???)。
这一解法是错误的，利用“移动法”即可得到验证．如图2一15所示，经时间t，
AB移到A?B?，CD移到C?D?，它们的位移分别为v1t、v2t，点P移到P?，由图可清楚地看出，直线AB、 CD分别移动的位移与P的位移不满足平行四边形法则，可以肯定上述解
法是错误的．（“移动法”）（奥赛高考P77例8）
2、如下图所示，棒MN在夹角为300的导轨BA上向左滑行，若在滑行过程中，棒始终垂直于AB边，且速度为1.2m/s，那么MN与AC的交点P沿AC导轨滑行的速度是_____ 。
3、两个相同的正方形铁丝框如图所示放置，它们沿对角线方向分别以速度v和2v向两边运动，则两线框的交点M的运动速度大小为（ ）。 v
2v
(A)
6v (B) 1022v (C) 322v (D) 22v 解：如图所示，根据线状相交物体交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量2和，把速度V分解为沿右侧正方形切向运动的分v
2v 2v
2v速度，把速度2V分解为沿左侧正方形切向运动的分速度，则交叉点的速度为：
2
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v＝（2v)2?(2v)210M2＝
2v，故选（B）。 4、如图所示，直杆ab搁在半径r的固定圆环上以速度竖直向下匀
速平动，求直杆ab运动到图示的位置时，杆与环的交点M的速度的大小________________.(已知ab⊥ON,∠MON=θ)
分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．
5、如右图所示，A、B为半径相同的两个半圆环，以大小相同、方向相反的速度运动，A环向右，B环向左，则从两半圆环开始相交到最后分离的过程中，两环交点P的速度方向和大小变化为 （A）向上变小， （B）向下变大，（
）
（C）先向上再向下，先变小再变大， （D）先向下再向上，先变大再变小。
类型3 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同 1、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速
运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动， V1 如图所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向
的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。
R θ P V0 解：设竖直杆运动的速度为V O 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等， 即有
V0sin??V1co?s，解得V1=V0·
tgθ。
2、如图所示，一长为L的杆，下端铰于地面，上端固定一个小球，杆搁在一边长为a的正方体上，正方体以速度v向右匀速运动，则当滑到杆与水平面成“角时，杆与正方体的接触点沿杆滑动的速度大小为___________，杆转动的角速度为_________，小球的运动速度大小为______________。
解：杆与正方体的接触点的瞬时速度为向右的v，它可以分解为沿杆方向的v1和垂直于杆方向的v2，如图所示，则可得v1＝ｖcosα，v2＝ｖsinα。 此时杆与正方体的接触点与转轴的距离为l??sin?。
而杆转动的角速度为??v2v2sinl??a?vsin2?a。 小球的运动速度为v'??L?vLsin2?a。
v v 3、 如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚 A P B 动，并且线端A点速度为v，方向水平．以
铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度?与角a的关系．
C A v B ?
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分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即 ｖn＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)．①
现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是 ｖn＝ｖOｓｉｎα．② 又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有 ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/Ｒ．③ 将②、③两式代入①式中，得
ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．
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高一物理竞赛讲义四 - 物系相关速度
