—
所以P（X=k）=则
（k=1，2，3，4，5），
=P（X=2）+P（X=3）=
+
=
．
故选A．
点评： 解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1，进而求出随机变量的分布列即可得到答案．
5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（ ） A． B．
C．
D．
考点： 超几何分布． 专题： 概率与统计． 分析： 先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论． 解答：
解：由题意，P（X=0）=
∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=
故选B．
点评： 本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题． 6．（2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（ ） A． P 1=P2 B． P1＜P2 C． D．以 上三种情况都有可能 P1＞P2
考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是
“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1﹣0.9910；方法二概率为1﹣（
解答：
解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为枚劣币的总概率为1﹣0.9910；
方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为作差得P1﹣P2=（
）5，做差比较大小即可．
，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一
，总事件的概率为1﹣（
）5，
）5﹣0.9910，由计算器算得P1﹣P2＜0
∴P1＜P2．
故选B
点评： 本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．
7．（2011?潍坊二模）设X为随机变量，X～B A．
B．
，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（ ） C．
D．
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考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 概率与统计． 分析：
根据X为随机变量，X～B和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n的值，再根
据二项分布概率公式得到结果．
解答：
解：∵随机变量X为随机变量，X～B∴其期望EX=np=∴P（X=2）=
=2，∴n=6，
=
．
，
故选D．
点评： 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的
过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．
8．（2012?衡阳模拟）已知随机变量ξ～N（0，a2），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）的值为（ ） A． 2 B． ﹣2 C． 0 D． 1
考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 计算题；概率与统计．
分析： 利用正态曲线的对称性，可得曲线的对称轴是直线x=0，由此可得结论． 解答： 解：由题意，∵ξ～N（0，a2），∴曲线的对称轴是直线x=0，
∵p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3） ∴a﹣3+1=0 ∴a=2
故选A．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．
9．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（ ） A． 1 ﹣p B． p C． D．
+p ﹣P
考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 概率与统计．
分析： 随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ≥1）=p，得到P（1＞ξ＞0）
=﹣p，再根据对称性写出要求概率．
解答： 解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），
∴正态曲线关于x=0对称， ∵P（ξ≥1）=p，
∴P（1＞ξ＞0）=﹣p， ∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，
故选D．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现
在选择或填空中．
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二．填空题（共5小题）
10．（2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是
考点： 超几何分布；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 计算题． 分析：
设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10），利用公式Eξ=
．
，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．
解答： 解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10）
∴Eξ=故答案为：
点评： 本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．
11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为
考点： 超几何分布． 专题： 概率与统计．
分析： 从10件产品任取3件的取法共有
．
，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取
法分别为，．利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出．
，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，
解答： 解：从10件产品任取3件的取法共有
取法分别为
，
．
因此所求的概率P==．
故答案为．
点评： 本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题．
12．（2010?枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为
（作数字作答．）
考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 计算题．
分析： 由随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，知n×0.5×（1﹣0.5）=2，解得n=8．再由二项分布公式能够导出事
件“X=1”的概率．
解答： 解：∵随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，
∴n×0.5×（1﹣0.5）=2， ∴n=8．
∴p（x=1）=．
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故答案为：．
点评： 本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式Dξ=np（1﹣p）的灵活运用．
13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是 8 ， 1.6 ．
考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 计算题．
分析： 根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关
于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量，做出概率．
解答： 解：∵X服从二项分布X～B（n10，0.8）
由Eξ=10×0.8=8，①
Dξ=1=np（1﹣p）10×0.8×0.2=1.6，② 故答案为8；1.6
点评： 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的
过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．
14．（2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公
司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=
，则随机变量X的数学期望E（X）=
．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 计算题．
分析： 根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取
值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．
解答： 解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，
∵P（X=0）=∴∴p=， P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=1﹣∴E（X）=故答案为：
，
，
+==
，
=， =，
点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基
础题目．
三．解答题（共3小题）
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15．（2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是
，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．
考点： 超几何分布；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 综合题．
分析： （Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球
的概率；
（Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是 建立等式关系，求出n的值，从而
求出红球的个数．
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；
解答：
解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则所以，
答：三次取球中恰有2个红球的概率为
．
． …（4分）
．
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则
，
整理得：n2﹣7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4． 所以，红球的个数为3个． …（8分） （Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且
，
，
，
所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 所以，
，．
5
6
．…（13分）
点评： 本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题的关键是正确利用公式求概率．
16．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．
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10
超几何分布与项分布
