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习题四
1.设随机变量X的分布律为
X 2 1 0 1 1/8 1/2 1/8 1/4 2P 求E（X），E（X），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)??0?1111?1??2??; 28421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;
828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4
2182.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 P 51 2 3 4 5 4233245C90C1C10C90C10C90C10C1C1010C9090?0.583 ?0.340 ?0.070 ?0.007 ?0 5?0 55555C100C100C100C100C100C100故 E(X)?0.583?0?0.340?1?0.070?2?0.007?3?0?4?0?5 ?0.501,
D(X)??[x?E(X)]P
2iii?05?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340?
?0.432.3.设随机变量X的分布律为
?(5?0.501)2?0
X 1 0 1 P p1 p2 p3 2且已知E（X）=0.1,E(X)=0.9,求P1，P2，P3.
【解】因P1?P2?P3?1……①,
又E(X)?(?1)P1?0P2?1P3?P3?P1?0.1……②,
22E(X2)?(?1)2P?0P?1P3?P 121?P3?0.9……③
由①②③联立解得P1?0.4,P2?0.1,P3?0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白
.. ..
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球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
P(A)全概率公式?P{A|X?k}P{X?k}
k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n?E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为
N?kP{X?k}k?0N
?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,
?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx
01123?13??2x? ??x???x???1.
3?1?3?0?12E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?1. 66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X. 【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.
(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)E(Z)?4E(X)
?11?8?4?5?68.
7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3XD（2X3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
(2) D(2X?3Y)?2D(X)?(?3)DY?4?12?9?16?192.
222Y），
.. ..
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8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因
?k,0?x?1,0?y?x,
其他.?0,??????????1x1f(x,y)dxdy??dx?kdy?k?1,故k=2
002E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.25.
001x9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
?e?(y?5),?2x,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?0,其他;??0,求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)? E(Y)?y?5,其他.
2x2xdx?, ?031???5ye?(y?5)dy令z?y?55?e?zdz??0????0ze?zdz?5?1?6.
由X与Y的独立性，得
2E(XY)?E(X)E(Y)??6?4.
3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,f(x,y)?fX(x)fY(y)??
其他,?0,于是
E(XY)????5?10xy2xe?(y?5)dxdy??2xdx012???52ye?(y?5)dy??6?4.
310.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?4e?4y,?2e?2x,x?0,fX（x）=? fY（y）=?x?0;?0,?0,求（1） E（X+Y）;（2） E（2X【解】(X)? ? E(Y)?2y?0, y?0.3Y）.
???2x??002
?????xfX(x)dx???0x2e?2xdx?[?xe]?e-2xdx
???0??1e?2xdx?.
2yfY(y)dy?2??0???1y4e?4ydy?.
4?? E(Y)?21?. ???0428113从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)???.
244??yfY(y)dy??y24e?4ydy?.. ..
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(2)E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?11.设随机变量X的概率密度为
22115?3?? 288??cxe?kf（x）=???0,【解】(1) 由
22x,x?0,x?0.
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.
?????f(x)dx??cxe0???????k2x2dx?c?1得c?2k2. 22k22(2) E(X)??xf(x)d(x)????22??0x2k2xe?kxdx π. 2k??02 ?2k?0x2e?kxdx?(3) E(X)?2?????xf(x)d(x)??2x2kxe22?k2x21. k21?π?4?π22?. 故 D(X)?E(X)?[E(X)]?2???2??k?2k?4k12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2939?0.750, P{X?1}???0.204, 1212113293219 P{X?2}????0.041, P{X?3}?????0.005.
1211101211109 P{X?0}?于是，得到X的概率分布表如下：
X P 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.
E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.222
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
x?1?4?f（x）=?4e,x?0,
?x?0.?0,为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年损坏可以调换.若售出一台设备，
工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元
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P{Y?100}?P{X?1}????11?x/4edx?e?1/4 4?1/4 P{Y??200}?P{X?1}?1?e故E(Y)?100?e?1/4.
?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33.64 (元).
2
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，i=1，2，…，
n，记
1n1n22X??Xi,S，S=(Xi?X)2. ?ni?1n?1i?1（1） 验证E(X)=μ，D(X) =
?2n；
n212(?Xi?nX)； （2） 验证S=
n?1i?12
（3） 验证E（S）=σ.
n1n1?1n?1【证】(1) E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)?nu?u.
ni?1n?ni?1?ni?1n1?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2ni?1?ni?1?nn22
?DXi?1i
1?22. ?2n??nn(2) 因
?(Xi?1ni?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi
22i2ii?1i?1i?1n2n2n ??X?nX?2XnX??Xi2?nX
2ii?1i?1n2n2n21(?Xi2?nX). 故S?n?1i?1222222(3) 因E(Xi)?u,D(Xi)??,故E(Xi)?D(Xi)?(EXi)???u.
同理因E(X)?u,D(X)?从而
?2n,故E(X)?2?2n?u2.
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概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)
