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立体几何最值问题的解题思路
作者：程少辉
来源：《新教育时代·教师版》2017年第18期
摘 要：立体几何试题是高考命题的必考点，本文结合多点教学经验，详细介绍了几种常用的解决立体几何最值问题的解题思路，为高考的复习规划抛砖引玉，打开思路。 关键词：高考试题 立体几何 最值 解题
解决立体几何试题需要有一定的空间想象力，将逻辑推理与运算相结合，才能较好地解决此类题目。近年来，高考命题在设计和立意上开始对立体几何试题进行创新，其中立体几何求最值的题型较多，需要重点关注一下该类题型的解题思路。下面针对高考题中该类型的一些题目进行简要的分析。 一、转移
例1 如图1，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，若点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为_____。
分析 过点P作与直线CC1垂直且相交于点H的直线，则线段PH的长度就是点P到直线CC1的距离，但线段PH的长度的最小值不易求得。如果设点P在平面ABCD上的射影为P′，则PP′//CC1，易知PH=CP′，从而点P到直线CC1的距离的最小值就等于CP′的长度的最小值。这种利用平行线转移的方法在求点到直线的距离或点到平面的距离时经常用到。[1] 解 设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值。注意到点P′是DE上的动点，易知：当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C==，所以点P到直线CC1的距离的最小值为。 二、对称
例2 如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面BCC1B1上一动点，则AP+PD1的最小值为_____。
分析 联想到平面几何中的相应问题，可作点A关于平面BCC1B1的对称点，从而通过对称变换将线段AP相等地转移到线段MP。
解 延长AB到M，使BM=AB，连接AP，D1P，MP，则AP+PD1=MP+PD1≥MD1=，当且仅当D1、P、M三点共线时取“=”，所以AP+PD1的最小值为。
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点评 例2是一个动点的最小值问题，而例2是两个动点的最小值问题，对称变换是解决这类问题的重要手段。[2] 三、旋转
例3 已知两平行平面a、b之间的距离为，S∈平面a，M∈平面a，P∈平面b，N∈平面b，SP=，MN=2，求异面直线SP与MN所成角的最大值和最小值。
解 如图3，设S在平面b上的射影为O，过S作SE//MN，交平面b于E，从而∠PSE或它的补角就是异面直线SP与MN所成的角。 易证SE=MN=2，从而OE=1。
将Rt△SOE以SO为轴旋转，则点E的轨迹是平面b内以O为圆心的圆，设直线PO交圆O于A、B。
在Rt△SPO中，由SP=，SO=得∠PSO=45°。
在Rt△SOA和Rt△SOB中，由SO=，SA=SB=2得∠ASO=∠BSO=30°。
因为PA≤PE≤PB，所以15°=∠PSA≤∠PSE≤∠PSB=75°，所以异面直线SP与MN所成角的最大值和最小值分别为75°，15°。
点评 将Rt△SOE以SO为轴旋转，观察旋转过程中∠PSE大小的变化，就能从直观上找到∠PSE的最大值和最小值； 四、翻折
将多面体的两个面中的一个面沿着它们的公共边翻折，使这两个面共面，从而使位于这两个平面内的几条线段位于同一平面内，这样就将空间问题转化为平面几何问题，多个面的情形也可类似处理，这就是降维的思想。
例4 如图4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是_____。
解 连接A1B，沿BC1将△CBC1展开到与△A1BC1在同一个平面内，如图5所示，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。易知∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以∠AC1C=135°，由余弦定理可求得A1C=5。所以CP+PA1的最小值是5。 五、展开
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圆柱和圆锥侧面（或表面）上曲线段长度的最小值问题，我们一般通过作它们的侧面（或表面）展开图，再利用两点之间线段最短加以解决，这是化曲为直的思想。
例5 圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥的侧面绕一圈丝线作装饰：从底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A，则这条丝线的最短长度是____。
解 圆锥的侧面展开图如图6所示，连接AA1，则AA1即为丝线的最短长度，过点O作OC⊥AA1于C，由弧长公式可求得∠AOA1=120°，∠OAC=30°。因为OA=4，所以AC=2，AA1=4。所以这条丝线的最短长度是4。 结语
综上所述，以上所举例题均为高考题中的经典命题案例，值得考生深入研究分析，通过理解学习，进一步掌握立体几何最值问题的解题思路，从而对此类考题有一定的解题思维模式，更加从容应对此类型题目。 参考文献
[1]李巍.立体几何创新题型及解题策略[J].科技致富向导.2013（12） [2]许卫华.高中数学立体几何教学策略分析[J].数理化学习.2014（03）
立体几何最值问题的解题思路
