观察下面的语句： (1)所有小于10的自然数； (2)高一(2)班的所有帅哥；
(3)2013～2014赛季所有参加CBA联赛的球队； (4)方程x2－1＝0的所有实数根； (5)我们班的高个子同学．
问题1：以上各语句中所要研究的对象分别是什么？ 提示：分别为自然数，帅哥，球队，实数根和高个子同学． 问题2：哪几个语句中的对象不能确定？为什么？
提示：(2)、(5)中对象不能确定．因为帅哥和高个子没有明确的划分标准． 问题3：你能指出第(1)、(4)中的确切的对象吗？ 提示：(1)中：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. (4)中：1，－1.
集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合
中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
已知英文字母包括元音字母和辅音字母．
问题1：记元音字母组成的集合为A，辅音字母构成的集合为B，那么字母O与字母G与A、B关系怎样？
提示：字母O是集合A的元素，不是集合B的元素．字母G是集合B的元素，不是集合A的元素．
问题2：能否存在某个字母，它既是A的元素，又是集合B的元素？ 提示：没有．
1．常用数集及其记法
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 2．元素与集合的关系 N N*或N＋ Z Q R
观察下列集合： (1)中国的直辖市； (2)2的所有正因数； (3)不等式x－2≥3的解集； (4)所有偶数的集合；
(5)方程x2－3x＋2＝0的解集．
问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)、(2)、(5)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．
问题2：设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们的特征表示出来． 提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.
问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？
提示：(2)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全相同，所以是相等集合，可表示为A＝B.
1．集合的表示法
列举法 描述法
2.集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
考察下列集合：
(1)方程x2－4＝0的解组成的集合； (2)不等式x>3的解组成的集合； (3)方程x2＝－1的解组成的集合． 问题1：集合(1)中有几个元素？ 提示：两个，分别是2和－2.
问题2：集合(2)中的元素能数得尽吗？ 提示：数不尽．即集合中的元素有无限个． 问题3：集合(3)中的元素是什么？ 提示：集合(3)中没有元素．
有限集 无限集 空集
1．集合是具有共同的特征(或属性)的对象组合而成，且这个特征(或属性)有确定的划分标准．
2．集合与元素间的关系是用符号“∈”或“?”表示的，是集合中的元素，必须是确定
含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合，记作? 将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内，元素之间用逗号分隔，用这样表示集合的方法称为列举法 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，用这样表示集合的方法称为描述法 的，对于集合A与元素a，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一．集合中的元素是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素．
3．列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．列举法表示集合直观明了，可以明确知道集合中具体的元素及元素个数，但当元素个数无限时，多用描述法．
[例1] 判断下列每组对象能否构成一个集合： ①高一(1)班成绩较好的同学； ②今年诺贝尔文学奖获得者； ③立方接近于零的正数； ④巴西奥运会所有比赛项目； ⑤1,2,3,2.
[思路点拨] 解答本题可根据集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互异，这是判断它们能否构成集合的依据．
[精解详析] ②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合； ①中“成绩较好”的标准不明确，不能构成集合； ③中“接近零”的标准不明确，不能构成集合； ⑤中含有两个2，不满足互异性，不能构成集合．
[一点通] 判断某些对象能否组成集合，关键看这些对象是否具有集合中元素的确定性，互异性特征，若具有则可以组成集合，否则就不能组成集合．
1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的是__________．(填序号)
解析：“接近于0的数”，“比较小的正整数”对象不明确，即元素不确定，所以①②不能构成集合；同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数是不是它的近似值，所以⑤也不能构成集合；③④能构成集合．
★答案★：③④
2．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)某个单位里的年轻人组成一个集合．
1361
－?，，这些数组成的集合有五个元素． (2)1，，，?24?2?2
(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．
解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．
(2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由三个元素组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合.
[例2] 已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.
[思路点拨] 由－3∈A，得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，求出a后再进行验证． [精解详析] 由－3∈A， 则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， 3
∴a＝－1或a＝－.
2
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3， ∴a＝－1舍去．
373
当a＝－时，a－2＝－≠－3≠12，故a＝－.
222
[一点通] 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，此类问题常因忽略检验而错解，在运用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的应用．
3．集合P＝{1，m，m2－3m－1}，若3∈P且－1?P，则实数m的值为________． 解析：∵3∈P且－1?P.∴当m＝3时，P＝{1,3，－1}，与－1?P矛盾．当m2－3m－1＝3时，m＝4或m＝－1(舍去)，此时P＝{1,4,3}．符合题意．∴m＝4.
★答案★：4
4．若2?{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________．
解析：因为2?{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}． ★答案★：{a|a≥2}
5．已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
高中数学(苏教版)必修一讲义：第一章 1.1 集合的含义及其表示
