双曲线及其方程
一、双曲线的定义
1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1?PF2?2a?F1F2（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。
a22、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l（准线）的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动
c点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（b?c?a，其中|F1F2|=2c）
222x2y2焦点在x轴上：2?2?1（a＞0，b＞0）
aby2x2焦点在y轴上：2?2?1（a＞0，b＞0）
ab（1）如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大
22 于b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上
x2y2x2y2??1 （2）与双曲线2?2?1共焦点的双曲线系方程是2a?kb2?kabx2y2（3）双曲线方程也可设为：??1(mn?0)
mn三、双曲线的性质
标准方程（焦点在x轴） 双曲线 标准方程（焦点在y轴） x2y2?2?1(a?0,b?0) 2aby2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。?MP yMF1?MF2?2a??2a?F1F2? y x x P 定义 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当e?1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e?1）叫做双曲线的离心率。 yP yP xP x P 范围 对称轴 对称中心 焦点坐标 x?a，y?R y?a，x?R x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 原点O(0,0) F1(?c,0) F2(c,0) F1(0,?c) F2(0,c) 焦点在实轴上，c?顶点坐标 离心率 （?a,0） (a,0) a2?b2；焦距：F1F2?2c (0, ?a) (0，a) e?c(e?1)， c2?a2?b2， e越大则双曲线开口的开阔度越大 aa2 x??ca2 y??c2准线方程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a c顶点A1（A2）到准线l1（l2）的距离为a?a 顶点到准线的距离 c2顶点A1（A2）到准线l2（l1）的距离为a?a c2焦点F1（F2）到准线l1（l2）的距离为c?a?b 焦点到准线的距离 c222c焦点F1（F2）到准线l2（l1）的距离为a?c c渐近线方程 b2??b2b (虚)，?y??x??c,??c,a?和?aa实??? ?x??b虚y () a实将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解 共渐近线的双曲线系方程 x2y2??k（k?0） a2b2y2x2??k（k?0） a2b2x2y2双曲线2?2?1与直线y?kx?b的位置关系： ab直线和双曲线的位置 ?x2y2?1??利用?a2b2转化为一元二次方程用判别式确定。 ?y?kx?b?二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB的弦长AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2 2b2通径：AB?y2?y1?与椭圆一样 a过双曲线上一点的切线 x0xy0y?2?1 或利用导数 2aby0yx0x?2?1 或利用导数 2ab
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