6．设 z?xy?yx，则
1?z?________． ?x7．交换积分I??0dx?xf?x,y?dy的积分次序，则I?________．
x?5??8.幂级数?的收敛半径为________．
?n?1n1n2nxn9．幂级数?的和函数s?x?为________．
n!n?0?10． 方程sec2xtanydx?sec2ytanxdy?0①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限limlncotx
x?0?lnx2．求函数y?(1?2x)1?2x的导数.
3．已知 z?f?xy,x?y?且f可微分，求4．计算?xln(1?x2)dx. 5．计算?12?z?z,. ?x?y1x21?x2dx.
6．计算I???xy2dxdy，其中D为x2?y2?4,x?0所围的右半圆.
D7．计算积分?L?x3?y?dx?(x?siny)dy，其中L是曲线y?x2上从点?0,0?到点?1,1?之间的一段有向弧.
8．求过点P(1,1,1,)且平行于平面?1:2x?3y?z?4?0与?2:x?y?z?6?0的直 线方程． 9．将函数f?x??1展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 22?3x?x四、应用题 （每小题5分，共 10 分）
1．某工厂生产某产品需两种原料A、B，且产品的产量z与所需A原料数x及B原
料数y的关系式为z?x2?8xy?7y2.已知A原料数x的单价为1万元/吨，B原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？
2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点A?1,1?且对于该曲线上的任一点P?x,y?，曲线弧OP与直线OP所围成的平面图形的面积为x3． 求曲线弧的方程．
五、证明题 （4 分） 证明方程ex???0
答案
1，
【答案】A.
【解析】 x要求x?0；ln(3?x)要求3?x?0，即x?3.取二者之交集，得0?x?3.应选A.
?32xdt?0在区间?0,1?内有唯一实根. 21?t
2，
【答案】C.
1?1?1?22f(x)?x?2，应选C. 【解析】因为f?，故x??x??x??2????2x?x?x??2 3，
【答案】D.
12(2x)f?x?1?cos2x2?lim?lim?2，所以由定义知，f?x?是g?x?的【解析】因为lim22x?0g?x?x?0x?0xx同阶但不等价无穷小.选D. 4，
【答案】B．
x2?4??，故x?0第二类间断点，且x?0为无穷型间断点； 【解析】 因为limx?0x(x?2)x2?4(x?2)(x?2)x?2?lim?lim?2，故x?2是第一类间断点，且为可又因为limx?2x(x?2)x?2x?2x(x?2)x去型间断点.所以选B． 5，
【答案】D. 【解析】
limh?0?f?h??f(0)?f?h??f??h?????f??h??f?0??? ?lim?h?0hh
?limh?0f?0?(?h)??f(0)f?0?h??f?0??lim h?0h?h?f??0??f??0??4.选 D.
6， 【答案】A.
【解析】因为y??(cosex)???sinex(ex)???exsinex，所以dy?y?dx??exsinexdx， 故选A. 7，
【答案】C. 【解析】
dydxdydy?bcost ，??asint ，所以?dtdtdxdtdxb??cott. dta故椭圆在t? 8，
?4??b??对应点处切线斜率为y??，应选C. ???4?a【答案】选C. 9，
【答案】A.
【解析】 f??x??3x2?6x；f???x??6x?6?6?x?1?.令f???x??0，得x?1；无二阶不
可导点.又当x?1时，f???x??0，而当x?1时，f???x??0，故(1,?2)为拐点，选A. 10，
【答案】C． 【解析】
（1）．x在x?0处不可导，故x在??1,1?内不可导，排除A； （2）．x3在端点x??1及x?1处的值不相等，排除B；
（3）．1在x?0处无定义，故1xx在??1,1?上不连续，排除D.选C. 11， 【答案】B． 【解析】 ?f?2x?dx?12?f?2x?d?2x??12F(2x)?C. 选B． 12， 【答案】D. 13， 【答案】C.
【解析】因为当x??0,1?时，x2?1，而ex2?1，且ex2不恒等于x2，故I1?I2，选
C.
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