2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题
一、填空题
1 ?设全集 U {1,2,3,4,5},若 eu A {1,2,4}，则集合 A ______________ 【答案】{3,5}.
【解析】直接求根据QJA {1,2,4}求出集合A即可. 【详解】 解：因为全集 u {1,2,3,4,5}若 Qj A {1,2, 4}, 则集合A {3,5}. 故答案为：{3,5}.
【点睛】 本题考查补集的运算，是基础题 2.已经复数z满足（z 2）i
1 i （i是虚数单位），则复数z的模是
【解析】【详解】
Q(z 2)i 1 i ,
i
z 口 2 口 3 i, i
z 10, 故答案为.,10.
3?已知一组数据ai,a2,a3，…，a.的平均数为a,极差为d,方差为S2，则数据
2a1 1, 2a2 1, 2a3 1，…，2a. 1 的方差为 _____________________ .
【答案】4S2
【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字， 数据的平方倍，得到结果. 【详解】
解：T数据a!,a2,a3，…，an的方差为S2, ???数据 2a1 1,2a2 1,2比 1，…，2a. 1 的方差是 S2 22 4S2 , 故答案为：4S2. 【点睛】
此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系. 4 ?如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 __________ .
得到的新数据的方差是原来
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'Prints
10
【答案】10
11
【解析】由题设提供的算法流程图可知 ：S
1
2 2 3
11 1 1 10
1 -
10 11 11 11
10
应填答案10 ?
11
5 .从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数 的个数为 ______ 。 【答案】18
【解析】 试题分析：分类讨论：从 0、2中选一个数字0,则0只能排在十位；从 0、2 中选一个数字2,则2排在十位或百位，由此可得结论?解：从 0、2中选一个数字0, 则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 A；=6种；从0、2
2 中选一个数字
2,则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，
共有A；
=6
种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有
2
3 =18
启=6种；故共有
3 A
种，故答案为18.
【考点】计数原理
点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键
2
x
y
2 ____________________________________________
6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C： - -- 1 a 0,b 0的离心率为??10 ,
a b
则双曲线C的渐近线方程为 _________ . 【答案】y 3x
【解析】由双曲线的离心率为
，可以得到-、、帀，再根据a2 b2 c2求出a,b
a
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的关系，从而得出渐近线的方程 【详解】 解：因为双曲线
0,b 0的离心率为...10 ,
所以-
a 10，
又因为 a2 b2
2 2 所
b
以
a
10， ~2
a
y 3x.
所以双曲线的渐近线
【点睛】
本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出
a,b的关系，从而解决问
7.将函数f(x)的图象向右平移
n
个单位后得到函数 y 4sin 2x 的图象，则f
6 3
n 【答案】
【解析】试 题分析：将函数f(x) 的图象, 即将函数y 4sin 2x
的图象向右平移罟个单位后得到函数y 4sin 2x 的图象向左平移訂单位得y=4sin[2
(x+
—]=4s in2x
n
3
,所以f =4忙4.
n
故答案为：4 .
角函数的图象平移. 【考点】三
8 ?设定义在 R上的奇函数f (x)在区间[0,)上是单调减函数，且
2
f x 3x f (2)
【答案】(1,2)
0，则实数x的取值范围是 ____________
【解析】 根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数
f(x)在R上为减函数，则
f x2 3x f (2) 0可以转化为x2 3x 2，解可得x的取值范围，即可得答案.
【详解】
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解：根据题意，f(x)是在R上的奇函数，且在区间［0,)上是单调减函数, 则其在区间(，0)上递减，
则函数f (x)在R上为减函数，
f x2 3x f (2) 0 f x2 3x f(2) f (x2 3x) f( 2) x2 3x 2
解得：1 x 2 ；
即实数x的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2).
【点睛】 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调 性.
3
1
9 ?在锐角三角形 ABC中 si nA - , tan(A B) 1，则3tan C的值为
3
5 【答案】79
【解析】由题意可得tan A,进而可得ta nB，而tanC 的正切公式可得. 【详解】
解：???在锐角三角形 ABC中sin A
tan(A B)，由两角和与差
cos A ■-1 sin 2 A tan A
sin A 3 cos A 4，
5
3 1 tan A tan (A BL 4 ￡匹
tanB tan[A (A B)] 1 9， 1 ta nAta n(A B)
1 3 4 tanC
tan(A B)
tan A tanB 1 tan Ata nB
3 13
79 4 9 3 13 3 4 9
3tan C 79 故答案为: 79.
【点睛】 本题考查两角和与差的正切公式，属中档题.
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10?已知Sn为数列｛an｝的前n项和Sn na.
3n(n 1)(n N*)且 a? 11.则 a!的值
【答案】5
【解析】由Sn nan 3n(n 1)(n N*)，且a? 11 .取n 2即可得出. 【详解】
解：??? Sn nan 3n(n 1)(n N*)，且 a2 11 .
a-i a2 2a2 6，即 a a2 6 5.
故答案为：5.
【点睛】 本题考查了递推式的简单应用，是基础题
x+ y
11.设正实数x, y满足xy =
，则实数x的最小值为
x- y
【答案】.2
1.
x+ y 2 2
【解析】由正实数x, y满足xy = ，化为xy2 1 x2 y x 0，可得
x- y
1 x2 2 4x2
2x 1
0 0
，计算即可.
y1 y2 yy 1 0
【详解】
x
解：由正实数 x, y满足xy =
x+ y x- y
化为xy2
1 x2 y x 0,
2
2
??? y1
4x2 0 1c “丄 x4 6x2 2 x
y2 0 ，化为
x x 1 1 0 1 x
1 0
解得x 2 1.
2 1.
因此实数x的最小值为
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故答案为：，2 1 ? 【点睛】
本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、 考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
12 ?如图正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积为27,点E, F分别为棱BQCQ上的点 根与系数的关系、一元二次不等式的解法，
（异于端点）且 EF//BC，则四棱锥 A AEFD的体积为
【解1
S
AB
析】 由 VA AED
VE A1AD
3 AiAD ,
由此能求出四棱锥 A
【详解】
27,
点E, F分别为棱BiB,CiC上的点（异于端点）
，且 EF//BC ,
VAI AED
VA FED ,
VAi AED VE AIs
s
iAD
AiAD
AB
6A
ADDi
AB
~VABCD A1C1 Di
6
四棱锥Ai AEFD的体积VA1 AEFD 9 . 故答案为：9. 【点睛】
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AEFD的体积.
本题考查四棱锥的体积的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题. 13 .已知向量 a, b, c满足a 正切为
r r r r
b c 0且a与b的夹角的正切为
1
-,
b与C的夹角的
1 3 4 5
|b| 2 ，则 a
c的值为
【答案】
uuu I r uuu
【解析】 可设AB a, BC
r uuu r
b,CA c，由题意可得
tanB ,ta nC
2
1
1
3
，由两角和
的正切公式，可得
tan A ,再由同角的基本关系式可得 sinB,sinC,再由正弦定理可得
AB, AC 由数量积的定义即可得到所求值.
【详解】 解：可设
uuu r uuur r uuu r AB a,BC b,CA c,
1 2 ,tan C
由题意可得tan B
则 tan A tan(B
C)
tan B tanC 1 tan Bta nC
1 2 1 1 2
即为A 135 ,
又B,C为锐角，sin B
2
cos B
2
‘ sin B 1-
cosB
可得sin B ，
5
5
同理可得sin C
、、
10 10， 2
|c|
丄
|a| 10 , 10
由正弦定理可得
sin 135
r
5
即有
2、、10 h，a
2、5 5
2.10 2 5 2 4
故答案为：- 【点睛】
本题考查向量的数量积的定义， 考查正弦定理和三角函数的化简和求值，
以及运算求解
5
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能力，属于中档题.
14?已知 f(x) m(x 2m)(x m 3),g(x) ① x R, f (x)
2x 2，若同时满足条件: 4), f (x)g(x)
0.则m的取值范围是
0 或 g(x) 0 :② x (
【答案】m 4, 2
【解析】根据g(x) 2x 2 0可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致 在x 1是必须是f(x) 0，当m=0时，f(x) 0不能做到f(x)在x 1时f(x) 0， 所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故
m<0,且此时2个根为
f(x)
% 2m,x2
m 3，为保证条件成立,
Xi 2m 1
只需｛
X2
m 3 1
m { m 4
1
2 ，和大前提
m<0取交集结果为 4 m 0 ;又由于条件2的限制，可分析得出在 x ( , 4), f (x) 恒负，因此就需要在这个范围内
g(x)有得正数的可能，即-4应该比x1x2两个根中较小
m=-1时，两个根
的来的大，当m ( 1,0)时， m3 4，解得交集为空，舍.当
同为2 4，舍.当m ( 4, 1)时，2m 4，解得m 2，综上所述，
m ( 4, 2).
【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉 及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想.
二、解答题
uur uuu uuu
15 ?已知 ABC的面积为9、、3，且AC (AB CB) 18，向量 ir r
m (ta nA tan B,si n 2C)和向量 n (1,cosAcosB)是共线向量
(1) 求角C； (2) 求ABC的边长c. 【答案】(1) C (2)
3
3、6
【解析】(1)利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可 求得角C;
uuu uuu uuu UULT UULT UUU UUUT 2 亠
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(2)由 AC (AB CB) 18得：AC (AB BC) AC 18，进而利用 ABC 的面
积为9.3，及余弦定理可求 【详解】
ABC的边长c.
(1)因为向量 mn (ta nA tan B,si n 2C)和 A (1,cosAcosB)是共线向量， 所以 cos AcosB(tan A tan B) sin 2C 0 , 即 sin AcosB cosAsinB 2sinCcosC 0 ,
化简sinC
2sin CcosC 0,
即 sin C(1 2cos C) 0.
因为0 C 从而cosC
，所以 sinC 0 ,
1
UULT UUU UUU
(AB CB) (2) Q AC
UU
UUU UUU UT (AB CB) 18 AC
则 |AC| ,18 3、、2，于
因为VABC的面积为9,3 ,
所以-CA CBsinC 9.3 ,
,C -
2 3
18 , UULT
UULT 2
UULT
|AC|
AC AC
是AC
2
即一3、、2CBsin— 9.3
2 3
解得CB 6、、2
在VABC中，由余弦定理得 AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC
(3、、2)2 (6.2)2 2
54 ,
所以 AB ,54 【点睛】
6& -
3.6.
本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正 弦、余弦定理求出三角形的边.
16 .如图，四棱锥 P— ABCD勺底面为矩形，且 AB= 中占
I 八、、■
, BC= 1, E, F分别为AB, PC
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（第1（5题）
(1) 求证：EF//平面 PAD
(2) 若平面PACL平面 ABCD求证：平面 PACL平面PDE. 【答案】证
(1)方法一：取线段 PD的中点M连结FM AM
因为F为PC的中点，所以FM/ CD且FW — CD 因为四边形ABCD^矩形，E为AB的中点， 所以 EA// CD 且 EA= — CD 所以 FM// EA 且 FM= EA 所以四边形AEFM为平行四边形. 所以EF// AM
.............................. 5 分
又AM平面PAD EF平面PAD 所以EF//平面 PAD .......................... 7分 方法二：连结 CE并延长交DA的延长线于N,连结PN 因为四边形ABCE为矩形，所以AD// BC 所以/ BCE=Z ANE / CBE=Z NAE
第10页共24
页
又 AB EB,所以△ CEB^A NEA 所以 CB NE 又F为PC的中点，所以 EF// NP .................. 5 分 又NP平面PAD EF平面PAD 所以EF//平面 PAD 分
方法三：取 CD的中点 Q连结FQ EQ
在矩形ABCD中, E为AB的中点，所以 AE= DQ且AE// DQ 所以四边形AEQD为平行四边形，所以 EQ/ AD
又AD平面PAD EQ平面PAD 所以EQ/平面 PAD 因为Q, F分别为CD CP的中点，所以FQ// PD 又PD平面PAD FQ平面PAD 所以FQ//平面 PAD
又FQ EQ平面EQF FQP EQ= Q,所以平面 EQF7/平面 PAD ............................. 5 分 因为EF平面EQF所以EF//平面PAD (2)设AC, DE相交于G.
在矩形ABCD中，因为AB=「一 BC, E为AB的中点.所以-DA = CD = .
_
............... 7
.................... 2 分
......................................... 7 分
AE DA
又/ DAE=Z CDA 所以△ DAE^A CDA 所以/ ADE=Z DCA 又/ ADEFZ CDE=Z ADC= 90°,所以/ DCAFZ CDE= 90°.
由厶DGC的内角和为180°,得/ DGC= 90°.即卩DEL AC ........................................... 10分
因为平面 PACL平面 ABCD
因为DE平面ABCD所以 DEL平面 PAC
分
又DE平面PDE所以平面 PACL平面 PDE ............................................... 14 【解析】略
17 .如图，OM ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OMk的一个码头.已
知:;；，匚沆 盘上卫,Q到海岸线 OM ON的距离分别为 3 km 海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线
AB经过小岛Q
km.现要在
(1) 求水上旅游线 AB的长；
(2) 若小岛正北方向距离小岛 6 km处的海中有一个圆形强水波 P,从水波生成t h时 的半径为
第11页共24
页
T二麵 (a为大于零的常数).强水波开始生成时，一游轮以 MQkm/h的速度 自码头A开往码头B,问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行. 【答案】（1）
（ 2）
顷
【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示： 風产J咄，直线|二拭|的方
程 为
再由两直线交点得
.由Q到海岸线ON的距离为 km,得抑
：
，解得 ，
，利用两点间距离公式得 卜卫p?-2-衬亠肆二M；| （2）由题
意是一个不等式恒成立问题：设 小时时，游轮在线段..沪|上的点时处，
，广Q飞；￡徒狀三而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数
最值问题：口九十性叫虻皿V
试题解析：（1）以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系如图所示.
则由题设得：A?0；,直线0N|的方程为厂心心^叫亠心'- 0〕.
巴H迥 | I ,
；
由I倔 -,及％’和得5 , ???Q（3M. ???直线AQ的方程为厂 W），即^^6=0, 由得 即 滋屋，即水上旅游线 的长
（2）设试验产生的强水波圆 P,由题意可得P （3, 9）,生成:小时时，游轮在线段A13上 的点 处，则卜心一
二冬*冬［.?「
一
.强水波不会波及游轮的航行即
pC 对代询恒成立对—3-畀\ft,当:丸时，上武恒成立.
当V Oh-即1丘（0肖时.話＜ 72叶岁命或）=72【“ 7-48.1 E （0,^|
酌=72t十T\48 -却,当且仅当“护芯.时等号成立，所以，在\、: 24^-圈 时 恒成立，亦即强水波不
会波及游轮的航行.
【考点】函数实际应用，不等式恒成立
第12页共24页
18.在平面直角坐标系 xOy中已知椭圆
七1(a b 0)过点，其左、
右焦点分别为Fi F2，离心率为一2 .
2
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 若A, B分别为椭圆E的左、右顶点，动点
M满足MB AB，且MA交椭圆E于
(i) 求证：0P 0常为定值;
(ii)设PB与以
PM为直径的圆的另一交点为 Q问：直线MQ是否过定点，并说明理
2 2
(1) 【答案】 x_
4 2
-1 (2)
( i)证明见解析，定值为4 (ii )直线MQ过定点0(0,0).
(1【解析】 )由题意得离心率公式和点满足的方程，
进而得到椭圆方程；
结合椭圆的a,b,c的关系，可得a,b，
(2)(i )设M 2,y0 , P X1,y1 ，求得直线MA的方程，代入椭圆方程，解得点 P的 坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；
(ii )直线MC过定点O( 0, 0).先求得PB的斜率，再由圆的性质可得 MQ PB,求出
MQ的斜
率，
【详解】
再求直线 MQ的方程，即可得到定点
3
2 1,
解：(1 )易 「得 a2 b2 且 c2 a2 b2 ,
1
c
a 2，
2
a
2
解得 2
4,
b 2,
2 2
所以椭圆E :的方程
为
X -1 4 2
(2)设 M
2,y。, P冷 $ ,
①易得直线MA的方程为：为号,
y
第13页共24页
2 2 2 2 2
代入椭圆x_ r 得，1鲁X分号。，
12
4
由2x1
得,
2 yo 8
Xi
y 8
，从而yi
yo
8yo yo^~8
，
2
uju uuju
所以示OP OM
2 y2 8 yo 8
8yo y0\
2,yo
4 yo 8 y 8
8yg y 8
②直线MQ过定点O(o,o)，理由如下:
8yo
依题意，kpB
由MQ pB得，kMQ号， 则MQ的方程为：
2
yo 8 y 8 yo，
y y
o
7
(x 2)
，即
y
齐，
所以直线MQ过定点O(o,o).
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质,
主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,
注意联立直线
方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置 关系，属于中档题.
19?已知数列｛a.｝满足：ai a2 a3 k (常数k 0),
an 1
K anan 1 * an an 2
--------------- n 3,n N .数列｛0｝满足：* --------------------- nN.
an 1
an 1
*
(1) 求 bi, b2, b3, b4的值； (2) 求出数列bn的通项公式；
｛
｝
(3)
整数？若能，求出 说明理由.
问：数列an的每一项能否均为k的所有可能值；若不能，请
｛
｝
【答案】 时数列 【解析】
2k 1
(1) d
…、,
(2)
b3 2,b2
b4
k ；
bn
4k 1 ' 2k
4k
( 1) ( U
； (3) k 为 1 , 2
2k
a
n是整数列.
(1)经过计算可知：
a4
k 1,a5 k
2
2, a6
k 4
k
，由数列｛bn｝满足：
第14页共24页
bn
an 1
(n= 1, 2, 3, 4…)，从而可求 b|, b2, b3, b4；
(2)由条件可知an 1an 2 k a.an 1 .得a. ?an 1 k a. ?，两式相减整理得 bn bn 2，从而可求数列｛bn｝的通项公式;
假设存在正数k，使得数列｛an｝的每一项均为整数，则由(2)可知:
(3) 【详解】
(1)由已知可知:a4a
k 1忌
k 2, a6
2n
1
2a2n a2n 1
把数列2k 1 ，由 ai k Z , a6
2
a2n 2 an的项代入a2n b1 an
an an
~；
2an 1
k 4 Z，可求得
k 1,2
k
2n
求得 0 b2k 1 1,23 时，满足题意，说明2, b2 b4
k k
； 1,2时，数列
an 是整数列. (2)由 a
n
1
k a.an 1
=3 (
n 3,n N )
an 2
可知：an ￡n 2 k a.an 1 ① 则：an 2an 1 k an 1an ②
an an 2 an 2 an ①-②有:
an 1
an 1
即：bn bn 2
b2n 1 b2n 3
ba1 a3 a2 a4 i
2
a，b2n
b2n
2
a3
b4k 1 ( n
2k
2k
(3) 假设存在正数k使得数列
an的每一项均为整数,
a2n
2a2n
a2n 1
则由 (2)可知:
1 ③, a2n
2k ak
2n 1 a2n
第15页共24页
证
2k 1
丁，
.由印 当k
k Z
, a6
1
k 4
1 时，
k
3为整数，利用 a1, a2, a3 Z结合③式可知 an的母一项均为整
k
Z 可知k 1 ,2.
数；
a2n 1
当k
2时，③变为
2a2n 5
1
32n 1
④
a2n 2
二
2
a2n
1 a2n
用数学归纳法证明a2n 1为偶数，a2n为整数.
n 1时结论显然成立，假设 n k时结论成立,
这时a2n 1为偶数，a2n为整数，
故a2n 1 2a2n a2n 1为偶数，a?n 2为整数,
n k 1时，命题成立.
故数列 an是整数列.
综上所述k为1，2时数列an是整数列. 【点睛】
本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，
考查了学生的计算能力和对数列的
综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题. 20.设函数 f(x) (x a)lnx x a, a R. (1) 若a 0求函数f(x)的单调区间；
(2) 若a 0试判断函数f(x)在区间e2,e2内的极值点的个数，并说明理由； (3) 求证：对任意的正数 a都存在实数t满足：对任意的x (t,t a) , f (x) a 1 . 【答案】(1)单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1, 析
【解析】(1)求解f (x) Inx,利用f (x) 间，单调递减区间；
). (2)见解析(3)证明见解
0, f (x) 0，解不等式求解单调递增区
a
(2) f (x) In x ，其中 x 0,
x
再次构造函数令 g(x) xl nx a，分析g(x)的零点情况.g (x) In x 1 ,
令g (x) 0,x
1
-，列表分析得出g(x)单调性，求其最小值，
第16页共24页
e
1 1 2 2
分类讨论求解①若 a ，②若 a 2，③若
e e e
2 a 0, f (x)的单调性，
e
f (x)最大值，最小值，确定有无零点问题； (3)先猜想x (1,1 a), f(x) a 1恒成立.
1
再运用导数判断证明.令 G(x) ln x x 1,x 出 G(x) G(1) 0 即可. 【详解】
(1)当 a 0时，f(x) xlnx x , f (x) In x , 令f (x) , x 1，列表分析 x
1,G(x) — 1 0,求解最大值，得
0
x (0,1) 1 (1,) f (x) f(x) - 0 + 单调递减 单调递增 故f(x)的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,). (2) f(x) (x a)l nx x a , f (x) In x ax，其中 x 0, 令g(x) xl nx a ,分析g(x)的零点情况.g (x) In x 1 1 令g (x) 0, x
e ，列表分析
x (0,1e) 1e (1e,) g(x) - 0 + g(x) 单调递减 单调递增 1 1
g(x)min g( — ) 一 a ,
e e
1 1
2 2 2
第17页共24
页
而 f ( )
1 n ae 1 ae, f (e ) e e
2
2 (2e a),
2 ae (2 ae )
f
()
e
2
1
① 若 a
e e
a x
则 f (x) In x 0 ,
e
故f (x)在(e 2,e2)内没有极值点；
1 2 11 2 2
② 若 a 2，贝U f ( ) 1 n ae 0, f (e )
e e e e 2 1 2
f (e ) 2(2e a) 0
e
2 2 2 2
(2 ae ) 0
因此f(X)在(e ,e )有两个零点，f(x)在(e ,e )内有两个极值点；
1 1
③ 若
a 0 则 f ( ) 1 n e e e 1
f (e ) -(2e a) 0 ,
e
2
ae 0, f (e ) (2 ae ) 0,
因此f (x)在(e 2,e2)有一个零点，f (x)在(e 2, e2)内有一个极值点；
1 22
综上所述当a (,］时，f(x)在(e ,e)内没有极值点；
e
当a -,— 时，f (x)在(e2,e2)内有两个极值点；
1 2
e e '
2
当a 2，0时， (x)在(e ,e )内有一个极值点?
f
2 2
e
(3)猜想：x (1,1 证明如下：
a)
， f(x) a
1恒成立?
由(2)得 g(x)在(-， )上单调递增， 且 g(1) a 0，g(1 a) (1 a)ln(1
e 因为当x 1时，In x
1
a) a
所以 g(1 a) (1 a)(1
1 1 -(*)，
x 1 ) a a 1
0
xc.由 x0 故g(x)在(1,1 a)上存在唯一的零点，设为 x (1,X0) (X0,1 a) + f (x) f(x) - 0 单调递减 单调递增 第18页共24页
知 x (1,1 a) , f(x) max{f(1), f(1 a)}.
又 f(1 a) ln(1 a) 1，而 x 1 时，ln x x 1(**), 所以 f(1 a) (a 1) 1 1 a 1 f(1).
即 x (1,1 a) , f (x) a 1 .
所以对任意的正数 a,都存在实数t 1, 使对任意的x (t,t ), 使 f
a 1.
（X）
补充证明 (*): 令 F(x) 1nx 所以
1
1 1 x 1
F (x) ， x 1. x 1
2 2
0
x x x
，
F（x）在［1, ）上单调递增.
x
1 所以 x 1 时，F(x) F(1) 0，即 inx 1 丄.
补充证明(**)
令 G(x) in x x 1，x 1. G (x) 所以G(x)在［1,)上单调递减. 所以 x 1 时，G(x) G(1)
1
— 1 0，
x
0，即 in x x 1.
【点睛】 本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问 题?求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于
0得到函数的递增区
间，令导函数小于 0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大. 21 ?已知二阶矩阵:
=
，矩阵属于特征值
.求矩阵|八|.
】的一个特征向量为 kW，属
于特征值卜耳的一个特征向量为 ?
【答1 案】
【解析】 运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知， 八旳=知5
L\\l
，得
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同理可得｛鑒裁十解得匸制b “，厂乳乔]|.因此矩阵A弋:] 【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果, 较为简单
22 .在极坐标系中,
已知 A 1,— ,B 9,— ,线段AB的垂直平分线I与极轴交于点C ,
3 3
求I的极坐标方程及 ABC的面积. 【答案】I的极坐标方程及
cos 3 5, ABC的面积 20 ...3
【解析】将A 1,—
B 9,— 转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段
3 3
AB的
中点与直线 AB的斜率，进而求出直线I在直角坐标系下的方程， 再转化为极坐标方程； 在直角坐标系下，求出点 C到直线AB的距离、线段 AB的长度，从而得出 ABC的面 积? 【详解】
解：以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系 在平面直角坐标系 xoy中，
xoy
A1
「B9,3
的坐标为A(-—)
2，2，
线段AB的中点为
k
AB
.3
故线段AB中垂线的斜率为k
3 3
所以AB的中垂线方程为:
3
化简得：x .3y 10 所以极坐标方程为 即 cos( 一)
0,
cos -.3 sin 10 0, 5
3
令 y 0，则 x 10,
，
故在平面直角坐标系 xoy中，C (10,0 )
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点C到直线AB： y J3x的距离为d 5J3 ,
线段AB 8,
1
故 ABC的面积为S 5. 3 8 20、. 3.
2
【点睛】
本题考查了直线的极坐标方程问题， 解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐 标系下的问题，从而转化为熟悉的问题
?
23?已知实数 a,b满足 |a b 2，求证：a2 2a b2 2b 4(a 2). 【答案】证明见解析
【解析】对a2 2a b2 2b进行转化，转化为含有 a b 2形式，然后通过不等关 系得证. 【详解】 解：因为a b 2, 所以 a2 2a b2 2b
a b 2a 2b a b a b 2 a b
2 2
a b|a b 2
a b 2a a b 2 a b 2a a b 2 2 2a 2 2
2 2a 4
4 a 2
4 a 2 ,得证.
【点睛】 本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，
考查了学生转化与化归的能力 .
24.如图，在四棱锥P ABCD中，已知棱AB , AD , AP两两垂直，长度分别为1,
ujir uuu 2, 2.若 DC AB ( uuiu uuur
R),且向量PC与BD夹角的余弦值为
15 15
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(1) 求的值；
(2) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值
【答案】(1)
.10
2 ; (2)
5
【解析】 试题分析：(1 )以A为坐标原点， AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立 空间直角坐标系 A xyz，写出PC,，
uuu
BD的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关
n PC n DC
r
于 的方程可求；(2)设岀平面PCD的法向量为n x,y,z，根据r ur ，进而
r ur n PC 0
得到r LT
r ur
，从而求出n，向量PB的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的
n DC 0
公式求出cos n,PB ，从而得PB和平面PCD所成角的正弦值?
试题解析： (1)依题意，以 A为坐标原点， AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立 空间直角坐标系 A xyz
B(1,0,0), D(0,2,0), P(0,0,2)，因为 DC
uur
uuu
AB，所以C( ,2,0)，从而
UJU ? 、15 uuiu uuu
解得 PC (, 2, 2) ，则由 cos PC, BD ：—
1
15
10 (舍去)或
2.
uuur uuur r
(2) 易得 PC (2,2, 2)，PD (0,2, 2)， 设平面 PCD的法向量n (x, y,z)，
r uuu r uuu
PC 0 ,n PD 0，即x y z 0，且 则n
y z
0，所以x 0，不妨取y z 1，
r uuu 则平面PCD的一个法向量n (0,1,1)，又易得PB (1,0, 2)，故
uuu r cos：. PB,n
PB与平面PCD所成角的正弦值为 一吏
5
PB n
-10，所以直线
5
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考点：1、空间两向量夹角余弦公式； 2、利用向量求直线和平面说成角的正弦
1 /5 n
25?已知数列｛an｝的通项公式为an
2
n N，记
1 2
Sn
Cnai
Cn a2
C；an.
(1) 求s, S2的值；
(2) 求所有正整数n,使得Sn能被8整除. 【答案】 ⑴ S1
1 ； S2 3 ； (2) n|n 3k,k N
【解析】(1)运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值;
(2)通过化简得到Sn 2 3Sn 1 Sn ,再由不完全归纳找规律得到结论，
结论. 【详解】
1 2
即可得到所求
解: ( 1 ) Sn
Cna1 Cn a2
C：a
Cn
1
1 -.5 2
Cn
2
_：!
C2
Cn
1 .5
15 n
1_ ■■- 5
第23页共24页
即有
Si
3; S2 —3 .5
n
3、、5 1 3 .5
(2) Sn
n
2 ， 5 2
3 3 .5 o 1
恥§ n 2 n 2
2 2
n
0 、5 3 .5 1 3 5 3 2 2 2 2
3「5
3 .5
3Sn i n ,
S
即 Sn 2
3Sn 1 Sn
, n N , 因此Sn 2除以8的余数,
完全由Sn 1, Sn除以8的余数确定, 因为 4 1, a2
1
所以 S
S4
C11a1 1
S2
S2
C；a2 3, 3S4 &
S3
3S2 S1
9 1 8,
3S3 24 3 21, S5 63 8 55 ,
S6 3S5 S4 165 21 144, Sz 3 56 S5
S
432 55 377
113144S8 3S, 6 1 97, Sg 3S8 S7 2961 377 2584 由以上计算及Sn 2 3Sn i Sn可知，数列 Sn各项除以8的余数依次是：
1
， 3， 0， 5， 7，0， 1， 3， 0，5，7，0，…
，
它是一个以6为周期的数列，从而 Sn除以8的余数等价于n除以3的余数, 所以 n 3k, k N* , 即所求集合为： 【点睛】
本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题.
n|n 3k,k N* .
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2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)
