华东理工大学2008–2009学年第二学期
《概率论与数理统计》课程考试试卷 A卷 2009.7.2
开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟 考生姓名： 学号： 班级： 任课教师： 题号 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 总分 一、（共12分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为
?ke?x?2y,x?0,y?0， f(x,y)??0,其他?（1） 求常数k（3分）； （2） 求P{X?Y}（3分）；
（3） 证明：X与Y相互独立（6分）。
解：（1）
????????f(x,y)dxdy?1，……………………………………….2’
??0??0ke?x?2ydxdy?1，k?2；………………………………………1’
（2）P{X?Y}???0dx?2e?x?2ydxdy……………………………….2’
0x?1?12?………………………………………………1’ 33?xx?0?e,x?0??，……………………………..2’ x?0?0,x?0?2yy?0?e,??y?0?0,????2e?x?2ydy,（3）fX(x)??0?0,?????2e?x?2ydx,fY(y)??0?0,?y?0…………………………………2’ y?0因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y相互独立。………………………………….2’
二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量
X（单位：吨）服从 （300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？
解：设公司组织货源a吨，此时的收益额为Y（单位：千元），则Y?g(X)，且
1.5a,X?a?1.5a,X?a? Y?????1.5X?0.5(a?X),X?a?2X?0.5a,X?a………………2’
?1?,x?(300,500)……………………..1’ X的概率密度函数为 f(x)??200?其他?0,?a50011dx??1.5a?dx EY????g(x)f(x)dx??(2x?0.5a)?300a2002001?(?a2?900a?3002)……………………………………………………3’ 200dEY1令?(?2a?900)?0，…………………………………………………2’
da200， a?450（唯一驻点）
d2EY1???0 又
100da2所以，当a?450吨时，可以使平均收益EY最大，即公司应该组织货源450吨。
...……….2’ .
三、（11分）已知相互独立的随机变量X，Y的概率密度分别为：
?e?y,y?0?2x,0?x?1，g(y)??， f(x)??0,其他0,其他??求Z?X?Y的概率密度?(z)。
?2xe?y,0?x?1,y?0解一：（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?f(x)g(y)??…..2’
其他?0,由卷积公式，?(z)?????f(x)g(z?x)dx??2xg(z?x)dx……………… ..2’
01当z?0时，?(z)?0；……………………………………………………..…..2’ 当0?z?1时，?(z)?当z?1时，?(z)??z02xe?(z?x)dx?2(e?z?z?1)；……………………2’
?102xe?(z?x)dx?2e?z，……………………………………2’
0,z?0???z即 ?(z)??2(e?z?1),0?z?1………………………………………….1’
?2e?z,z?1?解二：F(z)?P{X?Y?z}?当z?0时，F(z)?x?y?z??f(x,y)dxdy………………………………..2’
z?xzx?y?z??0dxdy?0，?(z)?0；………………………….2’
z0当0?z?1时，F(z)????2xdx?e?0z?z0dx?2xe?ydy??2x(1?e?(z?x))dx…………….2’
0z0?z2xexdx?z2?2z?1?2e?z，……..1’
?z?1)；……………………………….1’
?(z)?F?(z)?2(e当z?1时，
F(z)??dx?01z?x02xedy??2x(1?e0?y1?(z?x))dx??2xdx?2e01?z?10xexdx?1?2e?z
…………………………………………………………………………………………2’
?(z)?F?(z)?2e?z，……………………………………………………………...1’
0,z?0???z即 ?(z)??2(e?z?1),0?z?1
?z?2e,z?1? 四．（10分）在产妇骨密度/g/cm2的研究中，孕妇孕期介入补充钙制剂者作为试验组，孕期采用传统膳食者作为对照组。其测定结果如下表所示， 分组编号 1 2 分组 传统膳食者 补充钙制剂者 样本容量 12 11 样本均值 0．896 1．054 样本标准差 0．054 0．043 若假设两组孕妇的骨密度都服从正态分布，试说明传统膳食和孕期补钙的产妇（1）骨密度总体的方差是否有明显差异？（本小题5分） （2）平均骨密度有无明显差异？（本小题5分）
（??0.05，F0.975(11,10)?3.66，F0.975(10,11)?3.47，t0.975(21)?2.08）
解：已知n1?12，x?0.896，s1?0.054；n2?11，y?1.054，s2?0.043；
（1）H0:?1??2；H1:?1??2……………………………………1’
*2*2s1s1选取统计量F?*2，在H0成立时，F?*2服从F(11,10)，……….1’
s2s2**22220.0542?1.577?F0.975(11,10)?3.66，…………………2’ 经计算，F?20.043因此接受H0，即认为传统膳食和孕期补钙的产妇的骨密度总体的方差没有明显差
异。………………………………………………………………………….1’
（2）H0:?1??2；H1:?1??2………………………………….1’
选取统计量T?x?ysW11?n1n2，在H0成立时，T?x?ysW11?n1n2服从t(21)…1’
11?0.0542?10?0.0432经计算，sw??0.049
12?11?2|0.896?1.054||T|??7.726?t0.975(21)?2.08，…………………..2’
11sW?1110因此拒绝H0，即认为传统膳食和孕期补钙的产妇的骨密度总体的均值有
明显差异。………………………………………………..……………………..1’
?2x?0?x??五、（12分）设总体?的概率密度为 ?(x)???2
?其他?0其中，??0 是未知参数，(X1,X2,?,Xn)是来自?的一组样本，
?，并考察??是否为?的无偏估计。（1）求?的矩法估计?（本小题5分） MM（2）求?的极大似然估计??L，并考察??L是否为?的无偏估计。（本小题7分） 解：（1）E???x?0?2x?2dx?23?2x3?0?2??X，…………………………2’ 3??3X. …………………………1’ 因此?M2?是? 的无偏估计。……………2’ ??3EX?3?2???，所以此矩估计?E?MM223（2）似然函数L(?)???(xi)?i?1n2n?xi?12nni?，0?x(1)?x(2)???x(n)??
…………………………2’
ndlnL2nlnL(?)?nln2??lnxi?2nln?，???0，lnL?，L?
d??i?1 …………………………1’
??max{X}?X …………………………1’ ?越小，L越大，故?Li(n)x?0?0,2??x?的的分布函数为F1(x)??2,0?x??
??x????1,??max{X}的分布函数为F(z)?[F1(z)]n ?Li?2nz2n?1,0?z????max{X}的密度函数为f(z)?n[F1(z)]n?1?(z)??2n ??Li??其他?0,………………………1’ ??E?L?zf(z)dz??z???0??2nz2n?1?2ndz?2n???，故??L不是?的无偏估计。 2n?1 …………………………2’
六、填空题（共24分，每小题3分，共8小题）
1．设某地旅游者日消费额服从正态分布N(?,?2)，且标准差??12，今对该地
旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计的误差绝对值小于3（元），则至少需要调查 62 人。（U1??2?U0.975?1.96）
2．在一次试验中事件A发生的概率为p，把这个试验独立重复做两次。已知事件A至多发生一次的条件下，事件A至少发生一次的概率为3．设事件A,B相互独立，且P(A)?P(B)，P(A?B)?1。则p? 1/3 。 27，P(A)?P(B)， 16则P(A)? 0．25
4．某种体育彩票的奖金额?由摇奖决定，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，（用中心极限定理估计可知，）需要准备奖金总额 5383．2 万。（?(1.645)?0.95）
???sinx,0?x?5．设随机变量?的密度函数是p(x)??2。对?独立地随机观察6
?其它?0,次，?表示?的观察值大于
?的次数，则E?? 3 。 3?5e?5x,x?06．设随机变量X 的概率密度为f(x)??, 用切比雪夫不等式估计
?0,x?0P?X?EX?2?? ___1/100___ . 7．将一枚硬币重复投掷n次,设?，?分别表示正面向上和反面向上的次数,则?与
?的相关系数为____-1_____.
8. 某人下午5：00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 乘地铁到家的概率 乘汽车到家的概率 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 迟于5：54 0．1 0．3 0．25 0．35 0．45 0．2 0．15 0．1 0．05 0．05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，则他是乘地铁回家的概率为 9/13 。
八、选择题（共21分，每小题3分，共7小题）
?，X6为来自总体X~N(0，4)的一组样本。设 1．已知X1，X2，Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，且CY~?2分布，则C= （ A ）
A．
1111 B． C． D． 126322．已知随机变量X与Y独立同分布，记U?X?2Y，则cov(U,V)? V?X?2Y，
（ D ）
概率论与数理统计试卷及答案
