欧阳治创编 2024.03.10 欧阳治创编 2024.03.10
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
时间2024.03.10 创作：欧阳治 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、 几个重要的结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1、函数y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T为常数）的充要条件是y?f(x)的图象关于直线x?T对称。
2、函数y?f(x)满足f(x)?f(2T?x)（T为常数）的充要条件是y?f(x)的图象关于直线x?T对称。
3、函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)的充要条件是y?f(x)图象关于直线
x?(a?x)?(b?x)a?b?22对称。
4、如果函数
y?f(x)满足
f(T1?x)?f(T1?x)欧阳治创编 2024.03.10
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且f(T?x)?f(T?x)，（T和T是不相等的常数），则y?f(x)是以为2(T?T)为周期的周期函数。
5、如果奇函数y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T?0），则函数y?f(x)是以4T为周期的周期性函数。
6、如果偶函数y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)（T?0），则函数y?f(x)是以2T为周期的周期性函数。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、曲线y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。
2、曲线y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
3、曲线y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。
4、曲线f(x,y)?0关于直线x?b对称曲线为f(x,2b?y)?0。
5、曲线f(x,y)?0关于直线x?y?c?0对称曲线为f(?y?c,?x?c)?0。
6、曲线f(x,y)?0关于直线x?y?c?0对称曲线为f(y?c,x?c)?0。
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7、曲线f(x,y)?0关于点P(a,b)对称曲线为f(2a?x,2b?y)?0。 二、试试看，练练笔
1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1?x)?f(1?x)，且x?(?1,0)时,
2、已知函数y?f(x)满足f(x)?f(2?x)?0，则y?f(x)图象关于__________对称。
3、函数y?f(x?1)与函数y?f(1?x)的图象关于关于__________对称。
4、设函数y?f(x)的定义域为R，且满足f(x?1)?f(1?x)，则y?f(x)的图象关于__________对称。
5、设函数y?f(x)的定义域为R，且满足f(x?1)?f(1?x)，则y?f(x?1)的图象关于__________对称。y?f(x)图象关于__________对称。
6、设y?f(x)的定义域为R，且对任意x?R，有f(1?2x)?f(2x)，则y?f(2x)图象关于__________对称，y?f(x)关于__________对称。
7、已知函数y?f(x)对一切实数x满足
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f(x)?2x?15,则f(log220)?________。
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