《通信原理》习题第二章
第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT??1T/2?T/2X(t)X(t??)dtT?1/2?limT???T?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dtT?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e4 1?j?4162?则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221?j?1?4?f2
习题2.4 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
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《通信原理》习题第二章
2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex2??????故 EX2?t???cos22?t?sin22?t??2??2
(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x?????z2??。 exp??2??2???2??1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2?? ??2?cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2cos2??t2?t1?
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 222?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。
A2功率P=R(0)=
2
习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
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?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
?1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px?????11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2?1?2????0?2????0Sa?Sa???4?2???2???????
1P?2?
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22sin?f。试求此信号的自相关函数?f2习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。
解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=
2sin?f ?f?1??, ?1???0?j2?f?df??1??0???1 其自相关函数RX?????????G(f)e?0,其它?
习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2 2k?(2?f)2 5
《通信原理》习题第二章
P?Rn?0??k2
(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
Rn???1 Pn?f?k20 ?0 图2-2
fR(?)?1??, ?1???1
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。
解：P??
????PX(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 3?e?t/?,t?0习题2.13 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高
?0,t?0通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=X(t)?2cos(2?t??), ???t??
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
输出信号y(t)的能量谱密度为
Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?2211??1?j2?f?
??j2?f?C R R?1j2?fC)(1?1j2?f?)
图2-3RC 高通滤波器
习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).
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解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?
习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10
习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=
j2?fC2j2?fC?j2?fL?11?4?2f2LC2
图2-4LC低通滤波器
n01 221??LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0(?)?0exp(??)
4LL输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?(2) 输出亦是高斯过程，因此 ?2?R0(0)?R0(?)?R0(0)?
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2n0 4RCCn0 4L解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , ?y2?R0(0)?所以输出噪声的概率密度函数
py(x)?12x2RCexp(?)
n0?n02RC
习题2.18设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随变
R(0,1)量，且p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2，试求E[?(1)]及?。
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《通信原理》习题第二章
解：E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;
R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2习题2.19设
Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t是一随机过程，若
X1和
X2
是彼此独立且
2?具有均值为 0、方差为的正态随机变量，试求： 2E[Z(t)]； E[Z(t)]（1）、
（2）Z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）
B(t1,t2)和
R(t1,t2)。
解： （1）
E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0
因为
X1和
X2是彼此独立的正态随机变量，
X1和
X2是彼此互不相关，所以
E[X1X2]?0
E[Z2(t)]?E[X12cos2w0t?X22sin2w0t]?cos2w0tE[X12]?sin2w0tE[X22]
E[X1]?0D(X1)?E[X12]?E[X22]??2?E[X12]??2又;
同理
E[X22]??2
22E[Z(t)]??代入可得
（2）
22E[Z(t)]??E[Z(t)]由=0； 又因为Z(t)是高斯分布
1z2f[Z(t)]?exp(?2)22? 2??可得 D[Z(t)]??
(3)
B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)
?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]
?E[(X12cosw0t1cosw0t2?X22sinw0t1sinw0t2)]??2cosw0(t1?t2)??2cosw0?令
t1?t2??
习题2.20求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为解：
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Rx(?)、
Ry(?)。
《通信原理》习题第二章
因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]
RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)
习题2.21若随机过程
Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关
?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?函数为 ?是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼
此统计独立。
（1） 证明Z(t)是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数（3） 求功率谱密度
解：
（1）Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；
E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]RZ(?)的波形；
PZ(w)及功率S 。
RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]01?[2?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?00
?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)
只与
t2?t1??有关：
令
t2?t1??
?cosw0?*E[cos2(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02
E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}
1?cos(w0?)2
1RZ(t1,t2)?cos(w0?)*Rm(?)2所以只与?有关，证毕。
（2）波形略；
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《通信原理》习题第二章
?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???
PZ(w)?RZ(?)
而
RZ(?)的波形为
可以对
Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
Rm(?)的付氏变换。
Rm''(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/2)w?Sa2()w/22
w?w0w?w01?PZ(w)?[Sa2()?Sa2()]422 功率S：
S?RZ(0)?1/2
Rn(?)?aexp(?a?)P(w)2，a为常数： 求n和S；
习题2.22已知噪声n(t)的自相关函数
解：
因为
exp(?a?)?2aw2?a2
aa2Rn(?)?exp(?a?)?Pn(w)?22w?a2 所以
S?R(0)?a2
习题2.23?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数
R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度
P?(w) 。
wR(?)?1???Sa2()2 解：见第2. 4 题
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因为
?T(t)??n????(t?2n)? 所以
?(t)?R(?)*?T(t)
据付氏变换的性质可得
?P?(w)?PR(w)F?(w)?而
?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故
习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为频率为
wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角
、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）
Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2
G2B?(w)?BSa(B??)?因为w0又
G2w0(w)?Sa(w0?),故
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
1F1(w)*F2(w)2?
由 付氏变换的性质 可得
f1(t)f2(t)?n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?02(t)]?Bn0；
R(?)?E2[?o(t)]?0
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
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《通信原理》习题第二章
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn2?Bn00
n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC
的白噪声
(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2
(2) 因为
exp(?a?)?po(w)?2aw2?a2
所以
?n0n01*?R(?)?exp(?)O22(wRC)?14RCRC
n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为
高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
RR?jwL
2解：
H(w)?
R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?RO(?)?exp(?)22R?(wL)4LL(1)
(2)
E[n0(t)]?0；
n0R4L
Tb?2?R(0)?R(?)?R(0)?习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔关，且过程具有宽平稳性，试证：
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??TbTb，脉冲
内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
（1） 自相关函数
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《通信原理》习题第二章
2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]（2） 功率谱密度
解： （1）
。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
2Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
1Tb???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(?)Tb4TTb b在图示的一个间隔内，
?11T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(b?)?1???Tb44TbTbTb 当时，
?0,??Tb?R?(t)????1??/Tb,??Tb 故
（2）
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《通信原理》习题第二章
面积。所以
R?(?)?p?(w)?TbSa2(wTb)2。
?A?2w?A?Sa()24,其中2为时域波形的
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，?(t)是平稳的，求
?1(t)与?2(t)的互功率谱密度的表示式。
（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
???1(t)???(t??)h1(?)d?00
R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]??2(t)???(t??)h2(?)d?
??E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]00?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00
????所以
P12(w)????R12(?)e?jw?d?????d????jw?d?[h(?)h(?)R(?????)ed?12?????'?令??????
??jw???jw?P12(w)??h(?)e0d??h(?)e0d??[R?(?')e?jw?d?'?H1*(w)H2(w)P?(w)??'
习题2.29若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为相关函数及功率谱密度。
解：
R?(?)，试求它通过系统后的自
1/2h(t)??(t)??(t?T)?H(w)?1?e?jwT H(w)?(2?2coswT)
PO(w)?H(w)P?(w)?2(1?coswT)P?(w)2
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?jwTjwTP(w)?2P(w)?2coswT*P(w)?2P(w)?(e?e)PO????(w)
《通信原理》习题第二章
?2R?(?)?R?(??T)?R?(??T)
n0/2
习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。
解：
E[n0(t)]?0;
Pn0n?0(w)?2*11?(wRC)2?R0(?)?04RCexp(?RC)??2?n04RC
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
[x]?12??exp(?x2f2?2)
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通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章
