圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．
ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.
1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则
∵PF?ePQ，∴PF?e(PFcos??p)，其中p?FH，??〈x轴，FP〉 ∴焦半径PF?ep．
1?ecos?ep.
1?ecos?112??. MFNFep当P在双曲线的左支上时，PF??推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有
三、圆锥曲线的焦点弦长
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，
epep2ab2a2b2??22?c?1、椭圆中，p?，MN?. 21?ecos?1?ecos(???)a?ccos?cc2、双曲线中，
epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN?； ??1?ecos?1?ecos(???)a2?c2cos2?epep2ab2??若M、N在双曲线不同支上，MN??.
1?ecos?1?ecos?c2cos2??a23、抛物线中，MN?pp2p??.
1?cos?1?cos(???)sin2? 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1?a?ex，PF2?a?ex； 2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，
当点P在双曲线右支上时，PF1?ex?a，PF2?ex?a； 当点P在双曲线左支上时，PF1??a?ex，PF2?a?ex； 3、若F是抛物线的焦点，PF?x?p. 2
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
