章节 第三章 微分中值定理与导数的应用 §1 微分中值定理 课时 2 教 学 掌握三个中值定理的内容 目 的 教学 重点 及 突出 方法 中值定理的证明 教学 难点 及 突破 方法 利用中值定理证明的技巧。 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下： 设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b＝，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易看到， 差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，教 因此 成立。 注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间[a , b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的，使得函数f(x)在该学 函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点 过 点的导数等于零：。 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么(a,b)内至少有一点，使等式 (1)成立。 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，使等式 程 F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点 (2)成立。 例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根 是函数 证明：不难发现方程左端 函数的导数：在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即 也就是：方程有一个实根 在0与1之间至少 章节 第三章 微分中值定理与导数的应用 §2 洛必达法则 课时 2 教 学 掌握利用洛必达法则法则求极限的方法 目 的 教学 重点 及 利用洛必达法则法则求极限 突出 方法 教学 难点 及 利用洛必达法则法则求极限 突破 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
高等数学电子教案：第3章 微分中值定理与导数的应用
