1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100?s，每次复加需20?s，今用来计算N=1024点的DFT{x(n)]。问直接运算需（ ）时间，用FFT运算需要（ ）时间。 解：（1）直接运算：需复数乘法N次，复数加法N（N?1次。 ）直接运算所用计算时间T1为
2T1?N2?100?N（N?1）?20?125808640?s?125.80864s
（2）基2FFT运算：需复数乘法
Nlog2N次，复数加法Nlog2N次。 2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为
NT2?log2N?100?Nlog2N?20?716800?s?0.7168s
22．N点FFT的运算量大约是（ ）。 解：
Nlog2N次复乘和Nlog2N次复加 2kn5．基2FFT快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？
解：原理：利用WN的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，最后再组合起来。 复乘次数：
计算题：
2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，h(0)?h(7)?1,h(1)?h(6)?3,
NNN，复加次数：Nlog2 log22h(2)?h(5)?5,h(3)?h(4)?6，其他n值时h(n)?0。试求H(ej?)的幅频响应和相
频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
1,3,5,6,6,5,3,1?,0?n?7 解： h(n)??H(e)??h(n)e?j?nj?n?0N?1
?1?3e?j??5e?j2??6e?j3??6e?j4??5e?j5??3e?j6??e?j7??e7?j?27755733711??j???j??j??j???j??j??j???j??j??j???j7?e2?e2??3e2?e2?e2??5e2?e2?e2??6e2?e2?e2??????????????????????3???5???7????j2???12cos???10cos???6cos???2cos??H(?)ej?(?) ??e?2??2??2??2???所以H(ej?7)的幅频响应为
7?????3???5???7????j2? H(?)??12cos???10cos???6cos???2cos???e2222??????????H(ej?)的相频响应为
?(?)???
13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器，抽样频率fs?720Hz，上下边带截止频率分别为f1?60Hz，f2?300Hz。 附：低阶次巴特沃斯滤波器的系统函数H(s):
72阶 次 1 2 3 4 pc4/(s4+2.613pc3pc系 统 函 数 pc/(s+2/(s2+1.4142pcs+2pc) pcs+pc2pc3) pc3/(s3+2s+) pc 3s+pc 4) 3pc s+3.414 22pcs+2.613
解：该数字带通滤波器的上下边带截止频率：
?1?2?f1f?2??60720??6
s?2?2?f2f?2??300720?5?6
s数字低通原型滤波器的截止频率?p可以自选，为了使下面参数k的表示比较简单，这里选
?p2?2??p?3。则相应的模拟低通滤波器的截止频率???tan?2ftan?fs csTs263于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数
8Ha(s)????32223??s?2??cs?2?cs??c3c33 488s3?fss2?fs2s?fs33333fs3而数字低通原型滤波器的系统函数
H1(z)?Ha(s)21?z?11?z?1s???1?2fsTs1?z1?z?1
1 ?33(1?z?1)3?2(1?z?1)321(1?z?1)2(1?z?1)?(1?z?1)(1?z?1)2?(1?z?1)33333
下面将数字低通变换位数字带通。
a?cos(?1??22)/cos(?2??12)?cos/cos
23??k?ctan(?2??12)tan?p2?ctan?3.tan?6?31 .33于是得到变换公式：
z?12?k?1k?11Z?Z?2?2Z?2?1k?1k?12??????2
k?1?22?k?11?2Z?2Z?Z?1?Z?1k?1k?12Z?2?最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数
Hd(Z)?H1(z)z??12Z?2?1Z?2?2
1 ?33?(Z?2?1)3?2(3Z?2?3)3
21(Z?2?1)2(3Z?2?3)?(Z?2?1)(3Z?2?3)2?(3Z?2?3)33333
简答题：
1． 采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷积
用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。
答：如果x(n)，h(n)的长度分别为N1,N2,那么用长度N?N1?N2??1的圆周卷积可计算线性卷积。用FFT运算来求x(n)?h(n)值（快速卷积）的步骤如下：
x(n)?h(n)，试写采
h(n)补零至长为N，（1） 对序列x(n)，使N?N1?N2??1，并且N?2(M为整数)，
即
Mn?0,1,...N1?1?x(n)x(n)??
n?N1,N1?1,...N?1?0n?0,1,...,N2?1?h(n) h(n)??n?N2,N2?1,...,N?1?0（2） 用FFT计算x(n)，h(n)的离散傅立叶变换
x(n)?FFT???X(k) （N点） h(n)?FFT???H(k) （N点）
（3） 计算Y(k)?X(k)H(k)
（4） 用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶变换得：
x(n)?h(n)?IFFT[Y(k)] （N点）
13．序列a(n)为1,2,3，序列b(n)为3,2,1。 （1）求线性卷积a?n??b?n?
（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT
至少应取多少点？
解：（1）w(n)?a(n)?b(n)?????n????a(m)b(n?m)
?所以w(n)?a(n)?b(n)??3,8,14,8,3?，0?n?4
（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为a(n)的长度为N1?3；所以a?n??b?n?得长度为N?N1?N2?1?5。 故FFT至少应取2?8点。
22．已知某信号序列f(k)??3,2,1,2?，h(k)??2,3,4,2?，试计算 （1）f(k)和h(k)的循环卷积和f(k)?h(k)； （2）f(k)和h(k)的线性卷积和f(k)?h(k)； （3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。
【答案】（1）y(k)?6h(k)?13h(k?1)?20h(k?2)?21h(k?3)
3 （2）
y(k)?6h(k)?13h(k?1)?20h(k?2)?21h(k?3)?
14h(k?4)?10h(k?5)?4h(k?6) （3）略
23．如图表示一个5点序列x(n)。 （1）试画出
x(n)?x(n)
（2）试画出
x(n)?x(n)
x?n?321012345
解：
x?n??x?n?32105411021346912345678n
x(n)?x(n)13101110501234
简答题：
24．试述用DFT计算离散线性卷积的方法。
解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。
数字信号处理习题集(附答案)1
