解 令事件A={4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}。用3 种方法求P（A）。
①A 的对立事件A ={4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}，从5 又鞋中任取4 只，即 从10 只鞋中任取4 只，所有可能组合数为4 10 C ，样本空间S={ 4
10 C 个基本事件}，现考虑有
利于A 的基本事件数。从5 双鞋中任取4 双，再从每双中任取一只，有4 4 C5 2 种取法，即 A ={ 4 4
5 C 2 个基本事件}，则 4 4 4 5 4 10
2 5 2 13 ( ) 1 ( ) 1 1 210 21 C
P A P A C
= - = - = - ′ =
②4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为4 10 A ，即样本空间S={ 4 10 A
个基本事件}。现考虑有利于A 的基本事件，从10 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不 取，从其余8 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则A ={10×8×6×4 个基本事件}。于是 4 10
10 8 6 4 10 8 6 4 8 13 ( ) 1 ( ) 1 1 1 10 9 8 7 21 21 P A P A A
= - = - ′ ′ ′ = - ′ ′ ′ = - = ′ ′ ′
③利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件A 的基本事件数，任取的4 只鞋配成 一双的取法有1 2 2 2
5 2 4 C C C 2 种，能配成两双的取法有2 2 5 2 C C 种，于是A={（ 1 2 2 2 5 2 4 C C C 2 + 2 2 5 2 C C ）
个基本事件}，则 1 2 2 2 2 2 5 2 4 5 2
4 10
2 130 13 ( ) 210 21 C C C C C P A C
= + = =
此题的第1 种方法和第2 种方法是利用概率性质： P(A) + P(A) =1
首先求P(A)，然后求P(A)。第3 种方法是直接求P(A)。读者还可以用更多方法求 P(A)。
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10．在11 张卡片上分别写上Probability 这11 个字母，从中任意连抽7 张，求其排列结果为
ability 的概率。
解 令事件A={排列结果为ability}，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽1 张的连抽7 张，要排成单词，因此用排列法。样本空间={ 7 11 A 个基本事件}。排列结果
为ability，实际收入字母b 的卡片有两张，写字母i 的卡片有两张，取b 有1 2 C 种取法， 取i 有1
2 C 种取法，其余字母都只有1 种取法，故1 1 A = {C2C2个基本事件}，于是 1 1 2 2 7 11 4
( ) 0 0000024 11 10 9 8 7 6 5 C C P A A
= = = ×
′ ′ ′ ′ ′ ′ 这是个小概率事件。 第14.（2）、15、19、18题 条件概率、概率的加法公式和乘法公式 ------------------------------------------------------------------------------- 14．（2）已知 1 1 1
( ) ( ) , ( ) , ( ) 4 3 2
P A = ，P B A = P A B = 求P A∪ B 。 解 利用概率加法公式和概率乘法公式。 P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
解此题的关键是求P(B)和P(AB)。由概率乘法公式，得 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 3 12
P AB = P A P B A = ′ = 又P(AB) = P(B)P(A B)，解得 ( ) 1 1 ( ) 12 ( ) 1 6 2 P AB P B P A B = = =
于是所求概率为 1 1 1 1 ( )
4 6 12 3
P A∪ B = + - =
此题的关键是利用P(A)P(B A) = P(B)P(A B) ，求出P(AB) 和P(B) ，再求 P(A∪ B)就迎刃而解了。
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15．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为7，求其中有一颗为1 点的概率（用两种方法）。 解 令事件A={两颗骰子点数之和为7}，B={有一颗为1 点}。此题是求条件概率P(B A)。 两种方法如下：
①考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6 个， 即样本空间S={ 62个基本事件}。事件AB={两颗骰子点数之间和为7，且有一颗为1点}， 两颗骰子点数之和为7 的可能结果为6 个，即
A={（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）} 而AB= {（1，6），（6，1）}。由条件概率公式，得 ( ) 2 2 1 ( ) 36 ( ) 6 6 3 36 P AB P B A P A = = = =
②已知事件A 发生后，将A 作为样本空间，其中有两个结果（1，6）和（6，1）只有 一颗骰子出现1 点，则在缩减的样本空间中求事件B 发生的条件概率为 2 1 ( ) 6 3
P B A = =
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18．某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所 需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解 利用概率性质(有限可加性)和概率乘法公式。 令事件Ai = {第i 次拨通电话}，“到第i 次拨通电话”这个事件为1 2 i 1 i A A A A - . （i=1， 2，3）。事件B={不超过三次而拨通电话}，则 B= 1 1 2 1 2 3 A ∪ A A ∪A A A
该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话），或 者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）。右端是互不相容事件的并事 件，所以用有限可加性计算，得 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3
1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 9 1 9 8 1 3
10 10 9 10 9 8 10 P B P A A A A A A P A P A A P A A A
P A P A P A A P A P A A P A A A = = + + = + +
= + ′ + ′ ′ = ∪ ∪
拨号是从0，1，2，?，9 的10 个数字中任取一个，有10 种取法，第一次拨通的概率是 1 10
数率概论与数理统计课后答案（第四版）高等教育出版社 浙江大学 盛骤 等 编
