概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版） 第一章 概率的基本概念 习题解析
第1、2题 随机试验、样本空间、随机事件
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1．写出下列随机试验的样本空间：
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续 查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解 （1）高该小班有n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，?，100，n 个人分数这和的可能取值为0，1，2，?，100n，平均分数的可能取值为 0 1 100 , ,..., , n n n n 则
样本空间为 S= 0,1,2, ,100 k k n n . . . = . . . .
（2）样本空间S={10，11，?}，S 中含有可数无限多个样本点。 （3）设1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为 S={（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1， 0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1， 1，0），（1，1，1，1）}
例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。 （4）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为 S={ } (x, y) x2 + y2 ￡1
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2．设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生；
（2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生；
（6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生；
（8）A，B，C 中至少有两个发生。 解 此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多 于”表示“交”和“并”的联合运算。 （1） ABC 。
（2）ABC 或AB—C。 （3）A∪ B∪ C。 （4）ABC。 （5） ABC 。
（ 6 ） A ， B ， C 中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生， 即
A BC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ，A，B，C 中不多于一个发生，也表明A,B,C 中至少有两 个发生，即AB ∪ BC ∪ AC ∪ ABC。
（7）A，B，C 中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示 为
ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC
而 ABC 表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为 ABC = A∪ B ∪C 。
（8）A，B，C 中至少有两个发生为A，B，C 中仅有两个发生或都发生，即为 ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC 也可以表示为AB∪ BC∪ AC。 第3.（1）、6、8、9、10题 概率的定义、概率的性质、古典概型 ------------------------------------------------------------------------------- 3．（1）设A，B，C 是三件，且 1 1
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0, ( ) , 4 8
P A = P B = P C = P AB = P BC = P AC = 求A，B，C 至少有一个生的概率。 解 利用概率的加法公式 3 1 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 8
P A∪ B ∪C = P A + P A + P C - P AB - P BC - P AC + P ABC = - = 其中由P(AB) = P(BC) = 0,而ABC ì AB得P(ABC) = 0。
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6．在房间里有10 个人，分别佩戴从1 号到10 号的纪念章，任选3 人记录其纪念章的号码。 求
（1）最小号码为5 的概率； （2）最大号码为5 的概率。
解 利用组合法计数基本事件数。从10 人中任取3 人组合数为3 10 C ，即样本空间 S={ 3 }
10 C =120个基本事件。
（1）令事件A={最小号码为5}。最小号码为5，意味着其余号码是从6，7，8，9，10 的5 个号码中取出的，有2 5 C 种取法，故A={ 2 }
5 C =10个基本事件，所求概率为 2 5 3 10 5!
2!3! 10 1 ( ) 10! 120 12 3!7! C P A C
= = = =
（2）令事件B={最大号码为5}，最大号码为5，其余两个号码是从1，2，3，4 的4 个号码 中取出的，有2
4 C 种取法，即B={ 2 } 4 C 个基本事件，则 2 4 3 10 4!
2!2! 6 1 ( ) 10! 120 20 3!7! C P B C
= = = =
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8．在1 500 个产品中有400 个次品，1 100 个正品。从中任取200 个。求 （1）恰有90 个次品的概率； （2）至少有2 个次品的概率。
解 （1）利用组合法计数基本事件数。令事件A={恰有90 个次品}，则 90 110 400 1100 200 1500 ( ) C C P A
C =
（2）利用概率的性质。令事件B={至少有2 个次品}， Ai = {恰有i 个次品}，则 2 3 200 B = A ∪ A ∪ A , AiAi =.(i 1 j) 所求概率为 200 2 3 200 2
( ) ( , ( ) i i
P B P A A A P A =
= ∪ ∪.∪ ）=Σ
显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B ={恰有0 个次品或恰有 1 个次品}，即0 1 B = A ∪ A ，而 200 1 199
1100 400 1100 0 1 0 1 200 200 1500 1500 ( ) ( ) ( ) ( ) C C C
P B P A A P A P A C C
= ∪ = + = + 故
200 1 199
1100 400 1100 200 200 1500 1500 ( ) 1 ( ) 1 C C C P B P B C C = - = - -
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9．从5 双不同的鞋子中任取4 只，问这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？
数率概论与数理统计课后答案（第四版）高等教育出版社 浙江大学 盛骤 等 编
