一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF?FA，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=
2DG，PO=5，求EF的长． 3
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】
（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；
（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出
12AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，
32MO1CO1?，tanP=?,设求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝
BM2PO2EH∥DG，求出OM=
OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；
（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，
∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°，
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF?AF，
11o∠BEA=?90=45°，
22∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH，
∴FG=FH+GH=DE+DG；
∴∠HEF=∠FEA=
（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，
∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，
∵四边形GHED是矩形， ∴EH∥DG，
∴∠OMH=∠OCP=90°，
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°， ∴∠HOM=∠OHM， ∴HM=MO， ∵OM⊥BE， ∴BM=ME， ∴OM=
1AE， 22DG，DG=3a， 3设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°， ∴四边形GHMC是矩形， ∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a， ∵DG=HE，GC=HM， ∴ME=CD=2a，BM=2a， 在Rt△BOM中，tan∠MBO=∵EH∥DP， ∴∠P=∠MBO， tanP=
MOa1??， BM2a2CO1?， PO2设OC=k，则PC=2k， 在Rt△POC中，OP=5k=5， 解得：k=5，OE=OC=5，
在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5， a=1， ∴HE=3a=3，
在Rt△HFE中，∠HEF=45°， ∴EF=2HE=32． 【点睛】
考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
2．如图1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.
备战中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含答案
