第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
一、选择题
x2y2
1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该
ab双曲线的实轴的长为( )
A．1 C．2
B．3 D．23
解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为即c－a＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
2
2
bc＝b＝3，a2＋b2
ca2．若抛物线y＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( ) 1A． 23C． 2
B．1 D．2
2
2
解析：选B.设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y0＝4×1，解得
y0＝±2，不妨取P(1，2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.
3．(2024·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，
42
12
x2y2
O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
32A．
4C．22
32B．
2D．32
2
解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c＝6，所以|OF|＝6. 又tan∠POF＝＝＝32
. 4
ba262313，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝×6×222222
x2y2
4．(2024·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短
ab|AF1|
轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )
|AF2|
- 1 -
1A． 32C． 3
1B． 2D．3
解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，
a3a|AF1|1
所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.
22|AF2|3
x2y2
5．(2024·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，
ab→→
过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝( )
A．1 C．3
B．2 D．2
→→
解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF＝3FB，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴
x2y2
长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝3t，所以2＋2＝1.设直线AB4tt的方程为x＝sy＋3t，代入上述椭圆方程，得(s＋4)y＋23sty－t＝0，所以y1＋y2＝－23stt23stt122
，yy＝－，即－2y＝－，－3y＝－，得s＝，k＝2，故选D. 1222
s2＋4s2＋4s2＋4s2＋42
6．(多选)设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则( )
A．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3
B．|BF|＝3
D．抛物线C的方程为y＝6x
2
2
2
2
2
2
2
解析：选ACD.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为
32
|BF|＝93，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛4
2
物线的方程为y＝6x.
二、填空题
x2y2
7．已知P(1，3)是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率
ab是________．
解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，3)是双曲线C渐近线上的点，则
babac＝3，所以离心率e＝＝
a
a2＋b2
＝a2b2
1＋2＝2. a- 2 -
答案：2
8．(2024·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在
3620第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2
为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，
＋＝1，
3620??|FM|＝（x＋4）＋y＝64，?x＝3，则?得?
?y＝15，
x>0，??y>0，
2
2
2
1
x2y2
x2y2
所以M的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)
9．(2024·湖南师大附中月考改编)抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－3
2
x2
y2
3
＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐
近线的距离为________．
解析：抛物线的焦点坐标为?0，?，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可
2?2?得－＝1，解得x＝±
312×2?
p?
px2p2
33
3＋.因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即
422
p2
3＋＝p，解得p＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y＝±x，则抛
4
3
32＝.
22
p2物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32
2
答案：6
三、解答题
x2y2
10．(2024·高考天津卷)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的
ab短轴长为4，离心率为
5. 5
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
- 3 -
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
54
ca5222
，又a＝b＋c，可得a＝5，b＝5
x2y2
(2)由题意，设P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，
y＝kx＋2，??22
22
又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立?xy整理得(4＋5k)x＋＝1，??54
＋20kx＝0，
20k可得xp＝－2，
4＋5k8－10k代入y＝kx＋2得yp＝2，
4＋5k2
yp4－5k2
进而直线OP的斜率为＝.
xp－10k2
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
k由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
2
4－5k?k?242302
由OP⊥MN，得·?－?＝－1，化简得k＝，从而k＝±.
－10k?2?55230230
所以，直线PB的斜率为或－.
55
2
kx2y23
11．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.
ab2
(1)求椭圆C的标准方程；
5
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点4
O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题知e＝＝
ca3222
，2b＝2，又a＝b＋c，所以b＝1，a＝2， 2
所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.
4
x2
2
y＝kx＋m，??2
222
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立?x得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0， 2
＋y＝1，??4
依题意，Δ＝(8km)－4(4k＋1)(4m－4)＞0，化简得m＜4k＋1，①
- 4 -
2
2
2
2
2
8km4m－4
x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
4k＋14k＋1
2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
5y1y25
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，
4x1x24
4（m－1）8km所以4kx1x2＋4km(x1＋x2)＋4m＝5x1x2，所以(4k－5)·＋4km·(－)＋224k＋14k＋1
2
2
2
2
4m＝0，
522222222
即(4k－5)(m－1)－8km＋m(4k＋1)＝0，化简得m＋k＝，②
461522
由①②得0≤m＜，＜k≤，
5204因为原点O到直线l的距离d＝|m|1＋k2
2
，
52－k2
4m92
所以d＝， 2＝2＝－1＋2
1＋k1＋k4（1＋k）又
152
＜k≤， 204
8?214?2
所以0≤d＜，所以原点O到直线l的距离的取值范围是?0，?.
77??
x2y2
12．(2024·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为42，
ab1
离心率为.
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为26，记直线AM，BN的斜率分别为k1，
k2，求3k1＋2k2的值．
c1
解：(1)由题意，得2b＝42，＝.
a3
又a－c＝b，所以a＝3，b＝22，c＝1. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
98
(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0)． 据题意，直线F1M的方程为y＝26(x＋1)．
记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M′.设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)．因为F1M∥F2N，所以根据对称性，得N(－x2，－y2)．
- 5 -
2
2
2
x2y2
22
联立??8x＋9y＝72?y＝26（x＋1）
，消去y，得14x2
＋27x＋9＝0.
由题意知x33
1>x2，所以x1＝－7，x2＝－2
，
k＝y126（x1＋1）46－y226（x＋3＝x3＝9，kx2＋1）26
12＝－x＝3＝－3
，
11＋2－3x2＋所以3k461＋2k2＝3×9＋2×??26??－3??＝0，即3k1＋2k2的值为0.
- 6 -
京津鲁琼专用2024版高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义方程数学素养含解析
