第二章 圆锥曲线与方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
2
1．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为( )
38
A．x2＝y
38
C．y2＝－x
3
8
B．x2＝－y
38
D．y2＝x
3
2p解析：由准线方程为y＝，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且
322482
＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x＝－y. 333
答案：B
2．已知抛物线y－2 016x2＝0，则它的焦点坐标是( ) A．(504，0)
?1?C.?0，8 064? ?
?
?1?B.?8 064，0? ?
?
?1?D.?0，504? ?
?
2
11
解析：抛物线的标准方程为x＝y，故其焦点为(0，)．
2 0168 064答案：C
3．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A．3 B．6 C.
11
D. 4824
1
111
解析：将方程化为标准形式是x＝y，因为2p＝，所以p＝.
121224
2
1
故到焦点的距离最小值为.
48
答案：C
4．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆过定点( )
A．(4，0) C．(0，2)
B．(2，0) D．(0，4)
解析：由题意易知直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点．
答案：B
5．抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列 B．x1，x3，x2成等差数列 C．y1，y2，y3成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列
pp解析：由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
22p
|CF|＝x3＋.
2
因为|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
p??p??p???????x＋x＋x＋所以222＝12＋32?，即2x2＝x1＋x3.故x1，x2，x3??????成等差数列．故选A.
答案：A 二、填空题
2
6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是________．
解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB551
的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x＝－＝2.
222
答案：2
7．抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________．
p
解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋＝5，所以p＝8，即
2抛物线的标准方程是x2＝16y.
答案：x2＝16y
8．焦点为F的抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________．
解析：由条件知|MF|＝|MN|＝p，MF⊥MN，在△MNF中，∠FMN＝90°，得|FN|＝2p.
答案：2p 三、解答题
9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝－22px(p>0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p×(－3)，解得p＝.
3
4
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x.
3
3
高中数学人教A版第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程
