第七章 参数估计
1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。
解：μ，σ的矩估计是 S2?6.86?10?6。
2．[二]设X1，X1，?，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
2
1n??X?74.002,????(Xi?x)2?6?10?6 ?ni?12?θcθx?(θ?1),x?c（1）f(x)??
0,其它?其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。
??θxθ?1,0?x?1（2）f(x)??
?0,其它.?（5）P(X?x)?解：（1）E(X)?其中θ>0，θ为未知参数。
??pmx????x(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m,0?p?1,p为未知参数。
?xf(x)dx????cθcθ?θ?1θcθcθcxdx?c?,令?X，得
θ?1θ?1θ?1θ?θθ?X X?c（2）E(X)??????xf(x)dx??10θxθdx?θθX2,令?X,得θ?()
1?Xθ?1θ?1X m3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
（5）E (X) = mp
令mp = X，
??解得p解：（1）似然函数 L(θ)??f(x)?θii?1nnnθc(x1x2?xn)?θ?1
ndlnL(θ)θlnL(θ)?nln(θ)?nθlnc?(1?θ)lnxi,??nlnc?dθni?1?n?lnxi?1i?0
θ??n?lnxi?1n （解唯一故为极大似然估计量）
i?nlnc（2）L(θ)??f(x)?θii?1nn?n2(x1x2?xn)θ?1?n,lnL(θ)?ln(θ)?(θ?1)lnxi
2i?1?ndlnL(θ)?n11???dθ2θ2θ量。
（5）L(p)?n?lnxi?1i??(n?0,θ?lnx)ii?1nn2。(解唯一)故为极大似然估计
?i?1n?m??m??i?1P{X?xi}??(1?p)?x?????x??p?1??n?ximn??xii?1n，
lnL(p)??ln????xmxii?1i?1nilnp?(mn?n?x)ln(1?p),
ii?1ndlnL(p)?dp?xi?1nimn???xi?1ipni1?p?0
?x解得 p?i?2mn?X，（解唯一）故为极大似然估计量。 m4．[四(2)] 设X1，X1，?，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X为矩估计量。
n（2）极大似然估计L(λ)?n?i?1nP(xi;λ)?λi?1e?nλ，
x1!x2!?xn!?xinlnL(λ)??xlnλ??lnx!?nλ
iii?1i?1dlnL(λ)?dλ?xi?1niλ?n?0,解得λ??X为极大似然估计量。
λxi?λe,xi?0,1,?) （其中p(xi;λ)?P{X?xi}?xi!5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数 观察到石灰石的样品个数 0 0 1 1 2 6 3 7 4 5 6 7 8 3 9 1 10 0 23 26 21 12 解：λ的极大似然估计值为λ?=X=0.499 [四(1)] 设总体X具有分布律 X 1 Pk θ2 2 2θ(1－θ) 3 (1－θ) 2 其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）求θ的矩估计值
E(X)?1?θ2?2?2θ(1?θ)?3(1?θ)2
?[θ?3(1?θ)][θ?(1?θ)]?3?2θ 令E(X)?3?2θ?X
3?X? 则得到θ的矩估计值为θ??2（2）求θ的最大似然估计值 似然函数L(θ)?3?1?2?153?
26?P{Xi?13i?xi}?P{X1?1}P{X2?2}P{X3?1}
ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导
?θ2?2θ(1?θ)?θ2?2θ(1?θ)5
dlnL(θ)51???0 dθ61?θ??5 得到唯一解为θ6
概率论与数理统计 答案 第七章
