章节 第五章 定积分 §1 定积分的概念与性质 课时 2 教 学 掌握定积分的概念，性质及中值定理 目 的 教学 重点 及 突出 方法 定积分的概念，性质及中值定理 教学 难点 及 突破 方法 定积分的概念，性质及中值定理 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
教 教学思路、主要环节、主要内容
学 过 程 我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。 定积分的概念： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ......a=x0 章节 第五章 定积分 §2微积分的基本公式 课时 2 教 学 掌握微积分的基本公式 目 的 教学 重点 及 利用微积分的基本公式求定积分 突出 方法 教学 难点 及 变上限的积分求导公式 突破 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教学思路、主要环节、主要内容 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上具有导数，并且它的导数是 （a≤x≤b） 就是f(x)在[a,b]上的教 定理(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数一个原函数。 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 学 牛顿－莱步尼兹公式 过 程 节），即 又由定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 。 (1) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数 ，也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一(2) ， 在上式中令x = a，得的定义式及上节定积分的补充规定知。，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。 为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。 注意：公式(1)被称为牛顿-莱布尼兹(Leibniz)公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分)之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
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