吉林省实验中学2024-2024学年度下学期高二年级
期中考试数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
（1）已知i为虚数单位，设复数z满足z?i?3，则z=
（A）3 （B）4 （C）10 （D）10
（2）若点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为
（A）(2,) （B）(2,-)
33??2??) （D）(2,2k??) (k?Z)
332（3）设z?1?i（i是虚数单位），则?z2=
z
（C）(2,（A）1?i （B）?1?i （C）1?i （D）?1?i
（4）阅读右面的程序框图，则输出的S＝
（A）14 （B）20 （C）30 （D）55
（5）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是
（A）3 （B）17 （C）51 （D）103
（6）用秦九韶算法计算多项式f(x)?12?35x?8x2?79x3?6x4?5x5?3x6在x??4时的
值时，v3的值为 （A）－845 （B）220 （C）－57 （D）34 （7）若x?0，则x?1的最小值为 2x23 2（A）32 （B）33 （C）1 （D）
（8）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是
（A）假设三内角都不大于60° （B）假设三内角都大于60°
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（C）假设三内角至多有一个大于60° （D）假设三内角至多有两个大于60° （9）极坐标方程(??1)(???)?0 (?≥0)表示的图形是
（A）两条直线 （C）一条直线和一条射线
（B）两个圆
（D）一个圆和一条射线
1a（10）已知不等式(x?y)(?)≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为
xy（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
a2?b2（11）已知a?b，ab?1，则的最小值是
a?b（A）22 （B）2 （C）2 （D）1
x2y2（12）直线3x?4y?12与椭圆??1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的
169面积等于4，这样的点P共有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） （13）复数i(1?i)的实部是 ．
（14）已知曲线C的极坐标方程为??2sin?，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直
角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为 ．
t?t??x?e?e（15）参数方程?（t为参数）的普通方程为 ． t?ty?2(e?e)??2?x??2?cos?（16）已知点P(x,y)在曲线??y?sin?（?为参数）上，则
y的取值范围是 ． x
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题满分10分）
a2?a?6实数a分别取什么值时，复数z??(a2?2a?15) i是：
a?3（Ⅰ）实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数．
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（18）（本小题满分12分）
3解不等式：x?1?x?1≥。
2
（19）（本小题满分12分）
用数学归纳法证明：12?22?…?n2?
（20）（本小题满分12分）
已知曲线C1的极坐标方程为??1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．
?x?1?t（Ⅰ）若曲线C2:?（t为参数）与曲线C1相交于两点A,B，求AB；
y?2?t?n(n?1)(2n?1) (n?N*) ．
6（Ⅱ）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为(x,y)，求x?2y的最大值．
（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2x?1．
1（Ⅰ）若不等式f(x?)≤2m?1(m?0)的解集为??2,2?，求实数m的值；
2（Ⅱ）若不等式f(x)≤2y?
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a?2x?3，对任意的实数x,y?R恒成立，求实数a的最小值． y2（22）（本小题满分12分） 已知|x1?2|?1，|x2?2|?1． （Ⅰ）求证：|x1?x2|?2；
（Ⅱ）若f(x)?x2?x?1，求证：|x1?x2|≤|f(x1)?f(x2)|≤5|x1?x2|．
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吉林省实验中学2024-2024学年度下学期 高二年级数学（理科）期中考试参考答案
一、 选择题： 1 C 2 C 3 A 4 C 5 C 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 A 12 B 二、填空题
?33?x2y2,（13）－1 （14）x?y?2y?0 （15）? （16）?1 (x?2)??? 33416??22三、解答题 17．解：
a2?a?6(a?2)(a?3)2?实部，虚部a?2a?15?(a?3)(a?5).
a?3a?3（Ⅰ）当a?5 时，z是实数；
（Ⅱ）当a?5，且a??3时，z是虚数；
（Ⅲ） 当a??2 或a?3 时是纯虚数． 18．解：
（Ⅰ）当x?1时，x?1??x?1??2，∴原式恒成立。
（Ⅱ）当?1?x?1时，x?1?x?1?2x，原式化为原式化为2x?（Ⅲ）当x??1时，x?1?x?1??2，原式无解。 ?3???? 综上，不等式的解集为?，?4?33，即?x?1。 2419．证明：
（1）当n?1时，左边=1，右边=1?2?3=1，等式成立。 6k(k?1)(2k?1)，
6（2）假设当时等式成立，即12?22?L?k2?那么，
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吉林省实验中学2024-2024学年高二下学期期中考试数学(理)试题及答案解析
