从而得到数列：
n，m，uk，uk－1，?，uk－l，uk－l－1
此数列任意相邻三项皆满足ui＝ui－1＋ui－2，这恰好是斐波那契型数列．
而{1，2，?，1981}中斐氏数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，可见m＝987，n＝1597时，m2＋n2＝3524578为满足条件的最大值． A2－008 求方程w！＝x！＋y！＋z！的所有正整数解．
【题说】 第十五届（1983年）加拿大数学奥林匹克题 1． 【解】 不妨设x?y?z．显然w?z＋1，因此
（z＋1）！?w！＝x！＋y！＋z！?32z！
从而z?2．通过计算知x＝y＝z＝2，w＝3是原方程的唯一解． A2－009 求满足下式的所有整数n，m：
n2＋（n＋1）2＝m4＋（m＋1）4
【题说】 1984年匈牙利阿拉尼2丹尼尔数学竞赛（15年龄组）题 1． 【解】 由原式得
n（n＋1）＝m（m＋1）（m＋m＋2）
设m＋m＝k，我们有n（n＋1）＝k（k＋2）．显然，只可能两边为零．解是（0，0），（0，－1），（－1，0），（－1，1）．
A1－010 前1000个正整数中可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的正整数有多少个？ 【题说】 第三届（1985年）美国数学邀请赛题 10． 【解】 令f（x）＝[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]．
2
2
个不同的正整数值．
另一方面f（x＋n）＝f（x）＋20n对任一正整数n成立．将1－1000分为50段，每20个为1段．每段中，f（x）可取12个值．故总共可取到50312＝600个值，亦即在前1000个正整数中有600个可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的形式．
3
A2－011 使n＋100能被n＋10整除的正整数n的最大值是多少？
【题说】 第四届（1986年）美国数学邀请赛题 5．
【解】 由n3＋100＝（n＋10）（n2－10n＋100）－900知，若n3＋100被n＋10整除，则900也应被n＋10整除．因此，n最大值是890．
第九讲 整数问题：求解问题之三
A2－012 a、b、c、d为两两不同的正整数，并且
a＋b＝cd，ab＝c＋d
求出所有满足上述要求的四元数组a、b、c、d． 【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题 1．
【解】 由于a≠b，所以当且仅当a＝1或b＝1时，才有a＋b?ab． 如果a、b都不是1，那么
c＋d＝ab＞a＋b＝cd
由此知c＝1或d＝1．
因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1．如果a＝1，那么由消去b可以推出
从而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2． 这样，本题的答案可以列成下表
A2－013 设[r，s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序三元正整数组（a，b，c）的个数，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[c，a]＝2000．
【题说】 第五届（1987年）美国数学邀请赛题 7．
【解】 显然，a、b、c都是形如2m25n的数．设a＝2m125n1，b＝2m225n2，c＝2m325n3．
由[a，b]＝1000＝23253，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max（m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max（m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．
由此，知m3应是4，m1、m2中必有一是3．另一个可以是0、1、2或3之任一种，因此m1、m2的取法有7种．又，n1、n2、n3中必有两个是3，另一个可以是0、1、2或3．因此n1、n2、n3取法有10种．故mi、ni（i＝1、2、3）不同取法共有7310＝70种，即三元组共有70个．
A2－014 设m的立方根是一个形如n＋r的数，这里n为正整数，r为小于1/1000的正实数．当m是满足上述条件的最小正整数时，求n的值．
【题说】 第五届（1987年）美国数学邀请赛题12．
m＝n3＋1＜（n＋10
3
2
－3
－3
）3
－6
－9
＝n＋3n210＋3n210＋10 于是
从而n＝19（此时m＝193＋1为最小）．
【题说】 第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题 1． 【解】 144＝122，1444＝382 设n＞3，则
则k必是一个偶数．所以
也是一个自然数的完全平方，但这是不可能的．因为平方数除以4，
因此，本题答案为n＝2，3．
A2－016 当n是怎样的最小自然数时，方程[10n/x]＝1989有整数解？
【题说】 第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克十年级题 1． 【解】 1989?10n/x＜1990 所以
10n/1990＜x?10n/1989
即
1020.000502512?＜x?1020.000502765?
所以n＝7，这时x＝5026与5027是解．
A2－017 设an＝50＋n2，n＝1，2，?．对每个n，an与an＋1的最大公约数记为dn．求dn的最大值． 【题说】 1990年日本第1轮选拔赛题 9． 【解】
dn＝（an，an＋1）
＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2）） ＝（50＋n2，2n＋1）
n
n
＝（2（n2＋50），2n＋1）（因 2n＋1是奇数） ＝（2（n＋50）－n（2n＋1），2n＋1） ＝（100－n，2n＋1）
＝（100－ n，2n＋1＋2（100－ n）） ＝（100－n，201）?201
在n＝100≠201k（k∈N）时，dn＝201． 故所求值为201．
A2－018 n是满足下列条件的最小正整数： （1）n是75的倍数；
（2）n恰为 75个正整数因子（包括1及本身）．试求n/75． 【题说】 第八届（1990年）美国数学邀请赛题5．
【解】 为保证 n是75的倍数而又尽可能地小，可设n＝22325，其中α?0，β?1，γ?2，并且
（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75
由75＝5223，易知当α＝β＝4，γ＝2时，符合条件（1）、（2）．此时n＝24234252，n/75＝432．
α
β
γ
2
第十讲 整数问题;求解问题之四
A2－019 1．求出两个自然数x、y，使得xy＋x和xy＋y分别是不同的自然数的平方．
2．能否在988至1991范围内求到这样的x和y？
【题说】 第二十五届（1991年）全苏数学奥林匹克九年级题5． 【解】 1．例如x＝1，y＝8即满足要求． 2．假设
988?x＜y?1991
x、y∈N，使得xy＋x与xy＋y是不同的自然数的平方，则
x2＜xy＋x＜xy＋y
这时
y－x＝（xy＋y）－（xy＋x） ＞（x＋1）2－x2＝2x＋1
即
y＞3x＋1
由此得
1991?y＞3x＋1?33998＋1
矛盾！故在988与1991之间不存在这样的自然数x、y． A2－020 求所有自然数n，使得
这里[n/k2]表示不超过n/k2的最大整数，N是自然数集． 【题说】 1991年中国数学奥林匹克题 5． 【解】 题给条件等价于，对一切k∈N， k2＋n/k2?1991 （1）
且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜1992． （2） （1）等价于对一切k∈N，
k4－1991k2＋n?0
即 （k2－1991/2）2＋n－19912/4?0 （3）
故（3）式左边在k取32时最小，因此（1）等价于
n?19913322－324＝10243967
又，（2）等价于存在k∈N，使
（k－996）＋n－996＜0
上式左边也在k＝32时最小，故（2）等价于
n＜19923322－324＝10243968
故n为满足
10243967?n?10243967＋1023
的一切整数．
A2－021 设n是固定的正整数，求出满足下述性质的所有正整数的和：在二进制的数字表示中，正好是由2n个数字组成，其中有n个1和n个0，但首位数字不是0．
【题说】 第二十三届（1991年）加拿大数学奥林匹克题2． 【解】 n＝1，易知所求和S1＝2．
n?2时，首位数字为1的2n位数，在其余2n－1位上，只要n个0的位置确定了．则n－1个1的位置也就确定了，从而这个2n位二进制数也随之确定．
2
2
2
现考虑第k（2n＞k?1）位数字是1的数的个数．因为其中n个0的位置只可从2n－2个位置（除去首位和第k位）中选择，故这样的
初中数学奥林匹克竞赛教程
