课程编号：
MTH17171
北京理工大学2014-2015学年第二学期
2013级最优化方法期末试题 A卷
、（10分）设f X是凸集S^Rn上的凸函数，对X1,X「S，实数:-1.0,11,
1 2 1 2 令
Z.,?x ? 1 - ：? X ,若乙.? S，证明 f Z：. — ：? f X 厂门 - X o
2i
2i 1
2i
1
二、（10 分）设数列的通项为：X = —,x =2x,i =0,1，川,
i!
证明：（1） txJ收敛于x*=0 ；
(2)令 x =x ? d , k = 0,1 ,| H，
k 1
k
k
xk-x
则lim
k_jc
d
k
（3）『不是超线性收敛于
x的。
min Z = -捲 x2
三、（10分）求解整数规划问题:
s.t14 捲 +9x2 兰 51
-6x-i 3x2 空 1 X1,X2 -0, X1,X2 Z
（图解法，割平面法，分枝定界法均可） 四、（10分）设f连续可微有下界，且 一x,y? Rn，| -f x
' f Lipschitz连续，即：存在常数 L 0，使得
k
k
y 乞 L x-y，设 'xf 由 Wolfe-Powell 型搜索产生，d 为下
Vf (xd
k T
k
降方向， COS^k -
:: 2 k =0
：
证明：（1）迟 Vf（xk] COS20k
（2）若:0，使得-k，cosrk _、；，则 |jm_ i f xk i； =0。
五、（10分）设f连续可微，序列、xkf由最速下降法解 min f x，并做精确搜索产生，证 明：Fk =0,1,|||，Vf （xkHt2f（xk ）=0。
maxz =2论 3x2 4X3 7x4 s.t2 X1 * 3X2 — X3 — 4x4 = 8
1
2
3
4
六、（10分）已知线性规划：
。试求出所有基解，并指出哪
- 2 X2 6X3 - 7 X4 二-3
些是基可行解？是退化的还是非退化的？能否确定哪一个是最优解?
X1, X2,X3,X4 —0
min f x =4xi -3X2 s.t4 — X| —X2 — 0
七、 （10分）已知约束优化问题：
。
x2+ 7 >0 -x1 -3
2
x2 1 _0
（1） 写出 Lagrange函数； （2） 写出K-T必要条件；
（3） 求此问题的KT点x，及相应的Lagrange乘子■；
（4） 求x处的有效集，并验证在 x处线性无关约束规范（LICQ ）是否成立。
八 e十
min f f x
x：+XdX2
1
1 2
2
八、 （10分）用乘子法求解： 。
s.t 为 + 2x2 = 4
X
min f x
九、 （10分）已知优化问题：s.tX1+x2兰2
2 [
2
2
x2 XM2 - 3捲 一 x2
。
-x1 x2 ^1
冶,x2 _ 0
f 1 3 Y
（1 ）求x0 , 处的可行方向集，下降方向集和下降可行方向集；
12 2丿 i‘1 3
（2） 给出X0 , 的一个下降可行方向，并验证；
12 2丿
（3） 以X。为初始点，用投影梯度法迭代一步。 十、（10分）简答题： （1） 什么是二次终止性？ （2） 哪些算法具有二次终止性？
（3） 简述Newton法的思想，并指出它的优缺点。 课程编号：MTH17171
北京理工大学 2015-2016学年第二学期
2014级最优化方法期末试题B卷
、（10分）（1）说明凸集和凸函数的定义;
证明集合 C - ' x |_n a：x ：：： ：sb；x = - j, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…pf 为凸集。 二、（10分）设点列 Q 由如下迭代产生xk1二xk ? dk,k =0,1川,
(2)给定 ai ,bj 「，冷，打 _ ,i =1,2,…,m, j =1,2,…p ,
* || Xk _ X |
若｛xk｝超线性收敛于x，证明lim N | ki I =1。
y ||dk|
三、 （10分）设f ：L n》_ n是连续可微的凸函数，贝y x*是f的全局极小点的充要条件是
' f x* = 0。
四、 （10分）证明对于一般的优化问题 最速下降法进行求解时，具有以下性质：
minf x，设f连续可微，则采用精确搜索步长的
\\/k=0,1,|||，帀f （xkd1「Nf （xk ）=0。
min 3x1 2x2 x3 -x4
五、（10分）用单纯形法求解下列线性规划:
s.t 论一2x2 +3x3 兰 15 2论 x2 -x3 2x4 岂 10 X1,X2,X3,x4 -0
min f x =4^ -3X2 s.t4 - 洛 一 x2 启 0
六、 （15分）考虑如下问题：
。
x2十7王0
-% - 3 j 亠 x2 1 _ 0
（1） 写出 Lagrange函数； （2） 写出K-T条件；
（3） 通过K-T条件求出此问题的 KT点x*及对应的Lagrange乘子’* ；
（4） 写出在x*处的有效约束集，并判断在 X*处线性无关约束规范（LICQ ）是否成立。
2 2
min x1 x2 _ 2片 一 4x2
七、 （15分）用有效集算法求解二次规划： s.t —X! —x2 +1芒0
为，x2 _ 0
2
1
，初始点为=（0,0 f。
2
min f x x2 x1x^ 3禺 一 x2
2
八、 （10分）考察优化问题：s.t x^ + X2 2
-X| x2 辽 1 x1,x^-0
。
北京理工大学数学专业最优化方法期末试题2013级A卷,2014级B卷(MTH17171)
